V ravnini leži premica , premica pa je nanjo pravokotna. V ravnini leži tudi premica , ki je pravokotna na premico . V kakšni medsebojni legi sta premici in ?
Geometrija v ravnini - vaje
Geometrija v ravnini - vaje
Skupina NAUK
Urjenje geometrije v ravnini.
Premice
Razdalja med točkami
Daljica je razdeljena na dva dela, tako da je razmerje njunih dolžin 3:5. Krajši del daljice je 4 cm krajši od večjega. Koliko meri daljši del daljice?
Napačno
Odgovor je napačen. Ker je razmerje dolžin razdeljene daljice 3:5, lahko zapišemo, da je prvi del dolžine , drugi del pa . Ker je krajši del daljice za 4 cm krajši od večjega, to zapišemo kot . Potrebno je le še rešiti enačbo:
Ker naloga zahteva, da izračunamo, koliko meri daljši del daljice, je to oziroma , kar je enako 10 cm.
Krožnica
Povežite pravilne trditve med seboj.
Namig
Krožnica
Krožnici sta koncentrični, njuna polmera pa v razmerju 2:3. Koliko meri polmer manjše krožnice, če je vsota njunih polmerov 15 cm?
Napačno
Odgovor je napačen. Ker je razmerje polmerov krožnic 2:3, je prvi polmer , drugi pa . Vsota polmerov je 15 cm, zato lahko zapišemo . Rešimo enačbo:
Ker naloga zahteva, da izračunamo polmer manjše krožnice, je to oziroma , kar je enako 6 cm.
Konveksnost
Označite konveksne množice točk.
Napačno
Odgovor je napačen. Vsaka množica točk v prostoru je konveksna, če hkrati z vsakima svojima točkama vsebuje tudi daljico, ki ju poveže. Zato sta izmed likov, ki so navedeni, konveksna le paralelogram in kot.
Trikotnik
Ali obstaja trikotnik s stranicami cm, cm, dolžina stranice pa je enaka številu diagonal 7-kotnika?
Napačno
Odgovor je napačen. Število diagonal 7-kotnika izračunamo z obrazcem . Za trikotnik velja, da je dolžina vsake stranice krajša od vsote dolžin drugih dveh stranic. Zato mora veljati , in :
To ni res, zato trikotnik s takimi stranicami ne obstaja.
Skladni trikotniki
Trikotnika sta skladna, če se ujemata:
Pravilno
Pravilno ste ugotovili, kdaj sta dva trikotnika skladna. Ponovimo, da sta dva trikotnika skladna, če se ujemata:
- v vseh treh stranicah,
- v dveh stranicah in kotu med njima,
- v eni stranici in obeh kotih ob njej,
- v dveh stranicah in kotu nasproti daljše stranice.
Napačno
Odgovor je napačen. Dva trikotnika sta skladna, če se ujemata:
- v vseh treh stranicah,
- v dveh stranicah in kotu med njima,
- v eni stranici in obeh kotih ob njej,
- v dveh stranicah in kotu nasproti daljše stranice.
Zakaj ostale trditve ne držijo, premislite sami ali si oglejte gradivo Geometrija v ravnini - teorija.
Merjenje kotov
Razlika dveh suplementarnih kotov in je . Koliko merita kota?
Napačno
Odgovor je napačen. Suplementarna kota sta kota, katerih vsota je , zato lahko zapišemo . Podano imamo razliko teh dveh kotov, zato lahko zapišemo tudi . Rešimo sistem dveh neenačb:
- Enačbi seštejemo med seboj, dobimo .
Lahko bi kota tudi zamenjali, zato je možen odgovor tudi in .
Koti
Označite, kateri na sliki so sosedni koti in kateri sokoti.
Napačno
Odgovora sta napačna. Sosedna kota sta kota, ki imata skupen vrh in en krak, nimata pa skupnih notranjih točk. Sokota pa sta sosedna kota, ki skupaj tvorita iztegnjeni kot. Zato sta kota in sosedna kota, in pa sokota.
Delno pravilni
Na eno vprašanje ste odgovorili napačno, na drugo pa pravilno. Oglejte si še enkrat gradivo Geometrija v ravnini - teorija in poskusite še enkrat odgovoriti na vprašanji. Naprej
Notranji in zunanji koti trikotnika
Izračunajte velikost notranjega kota , če meri zunanji kot in zunanji kot .
.
Napačno
Odgovor je napačen. Ker je vsota notranjega in zunanjega kota pri oglišču trikotnika enaka , lahko izračunamo notranja kota in :
Vsota notranjih kotov trikotnika je , zato lahko izračunamo kot :
- .
Konstrukcija kotov
Na levi so napisani koti, na desni pa postopki risanja kotov s šestilom in ravnilom. Povežite trditve, ki se ujemajo.
Konstrukcija trikotnika
Razvrstite korake risanja trikotnika tako, da pred trditev zapišete pravilno zaporedno številko.
Trikotnik s podatki:
cm, , .
Odmerimo stranico cm, dobimo oglišče .
Narišemo stranico cm, dobimo oglišči in .
Načrtamo kot , dobimo oglišče .
Napačno
Odgovor je napačen. Za načrtovanje sta dve možnosti:
- Narišemo stranico cm, dobimo oglišči in .
- Načrtamo kot .
- Odmerimo stranico cm, dobimo oglišče .
Ali:
- Načrtamo kot , dobimo oglišče .
- Narišemo stranico cm, dobimo oglišče .
- Odmerimo stranico cm, dobimo oglišče .
Če še niste, poskusite sami načrtati ta trikotnik.
Pitagorov izrek
Koliko meri iskana stranica pri posameznih likih? Napišite rezultat v okvirček pod sliko.
Napačno
Odgovor je napačen. Neznane količine lahko izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka. Pravilni odgovor bi bil:
| 
| 
| 
|
| |
Pravokotna projekcija
Koliko meri dolžina pravokotne projekcije cm dolge daljice, če sta krajišči od ravnine oddaljeni cm in cm?
Dolžina pravokotne projekcije je cm.
Napačno
Odgovor je napačen. Najlažje si nalogo predstavljamo, če narišemo ustrezno sliko:
Ker pravokotna projekcija daljice ter daljica tvorita pravokotni trikotnik, je dolžina hipotenuze cm, dolžina ene katete pa cm- cm = cm. Dolžina pravokotne projekcije je zato:
cm
Zrcaljenje čez premico
Katera izmed slik predstavlja zrcaljenje premice čez premico ?
Napačno
Odgovor je napačen. Pri ugotavljanju pravilnega odgovora si lahko pomagate s tem, da sami narišete premico v koordinatni sistem in jo zrcalite čez premico . Čez premico zrcalimo tako, da najprej pravokotno projiciramo točko na premico, potem skozi ti dve točki potegnemo premico in na drugi strani premice odmerimo prav toliko, kolikor je razdalja od točke do premice. Tam je prezrcaljena točka. Na premici, ki jo želimo prezrcaliti, si izberemo dve točki, ti dve točki pa prezrcalimo čez premico . Prezrcaljeni točki povežemo in dobimo prezrcaljeno premico:
Togi premiki
Katera izmed slik predstavlja najprej zrcaljenje trikotnika čez točko , potem pa še vrtenje okoli točke za kot ?
Napačno
Odgovor je napačen. Pri ugotavljanju pravilnega odgovora si lahko pomagate s tem, da sami narišete trikotnik v koordinatni sistem in ga najprej zrcalite čez točko , potem pa še zavrtite okoli točke za kot . Slika po zrcaljenju čez točko :
Slika po vrtenju prezrcaljenega trikotnika okoli točke za kot :
Lastnosti trikotnika
Izberite pravilne trditve.
Pravilno
Izbrali ste pravilne odgovore. Res je daljica, ki povezuje razpolovišče stranice z nasprotnim ogliščem težiščnica, vsota zunanjih kotov trikotnika je in v enakostraničnem trikotniku merijo notranji koti . Ni pa res, da višinska točka razdeli višino v razmerju 2:1 in da je v pravokotnem trikotniku en kot ostri, en pa top (če je en kot pravi, ostala dva morata biti ostra).
Napačno
Odgovor je napačen. Višinska točka ne razdeli višine v razmerju 2:1, to naredi težišče s težiščnicami. V pravokotnem trikotniku morata biti oba kota ostra, če je en kot pravi. Pravilne trditve pa so:
- Daljica, ki povezuje razpolovišče stranice z nasprotnim ogliščem, je težiščnica.
- V enakostraničnem trikotniku vedno vemo, koliko merijo notranji koti (vsak notranji kot meri ).
- Vsota zunanjih kotov trikotnika je .
Središčni kot
Rešite naslednje naloge o krožnem loku. Rezultate zaokrožite na dve decimalki. ( je polmer kroga, krožni lok, pa središčni kot pripadajočega krožnega loka).
- cm
cm
- cm
cm
Vsi potrebni podatki so na sliki:
cm
Napačno
Odgovor je napačen. Najprej poglejte, če ste rezultate res pravilno zaokrožili. Rešitve nalog pa so naslednje:
cm
cm- Za izračun dolžine krožnega loka potrebujemo polmer kroga. Ker gre za kvadrat s stranico 2 cm, ki mu je očrtan krog, lahko izračunamo polmer kroga s Pitagorovim izrekom: cm. Sedaj lahko izračunamo dolžino krožnega loka po znanem obrazcu:
cm
Središčni in obodni kot
Pod kakšnim kotom vidimo daljico iz središča očrtane krožnice?
Napačno
Odgovor je napačen. Potrebno je izračunati le velikost središčnega kota. Ker je obodni kot nad tetivo enak , je središčni kot enak , kar pa je enako .
Središčni in obodni kot
Rešite naloge tako, da v okenca vpišete pravilni odgovor.
Razlika središčnega in obodnega kota nad istim lokom je . Koliko meri središčni kot?
Vsota središčnega in obodnega kota nad istim lokom je . Koliko meri obodni kot?
Središčni kot meri . Koliko meri obodni kot nad istim lokom?
Napačno
Odgovor je napačen. Pravilni odgovori:
- Razlika središčnega in obodnega kota nad istim lokom je . Obodni kot označimo z in lahko zapišemo ali . Središčni kot zato meri .
- Vsota središčnega in obodnega kota nad istim lokom je . Obodni kot označimo z in lahko zapišemo ali , zato meri obodni kot .
- Središčni kot meri , obodni kot pa je ravno polovica središčnega kota, zato meri .
Središčni in obodni kot
V okenca zapišite velikost iskanih kotov.
Napačno
Odgovor je napačen.
|
|
|
Podobni trikotniki
Stranice trikotnika merijo cm, cm in cm. Koliko meri najkrajša stranica podobnega trikotnika, če je njegova najdaljša stranica dolga cm?
Napačno
Odgovor je napačen. Izračunati moramo koeficient podobnosti . To pa lahko dobimo iz razmerja najdaljših stranic trikotnika:
Na podoben način dobimo najkrajšo stranico, iz razmerja najkrajših stranic trikotnika:
cm.
Podobnost
Razdelite daljico dolžine cm v razmerju 3:7. Koliko meri daljši del?
Pravilno
Odgovor je pravilen. Če ste nalogo rešili le grafično, poskusite še računsko in obratno.
Napačno
Odgovor je napačen. Nalogo lahko rešimo na dva načina, grafično in računsko.
Grafično:
Pomožni poltrak razdelimo na 10 delov, zadnjo točko na poltraku povežemo s točko in skozi sedmo točko načrtamo vzporednico. Tam je točka , ki razdeli daljico v razmerju 3:7. - Računsko:
cm.
Ker iščemo daljši del, izračunamo le cm. Zato meri daljši del cm.
Uporaba podobnosti
Napačno
Odgovor je napačen. Kvadratni koren lahko narišemo z uporabo višinskega in Evklidovih izrekov. Pri risanju je uporabljen Evklidov izrek, enakost , kjer je koren, ki ga želimo narisati.
- , zato je dolžina stranice cm, dolžina stranice cm.
- , zato je dolžina stranice cm, dolžina stranice cm.
- , zato je dolžina stranice cm, dolžina stranice cm.
Korene bi lahko narisali tudi drugače, z uporabo višinskega izreka () ali drugega Evklidovega izreka ().
Uporaba podobnosti
V pravokotnem trikotniku meri hipotenuza cm in projekcija katete na hipotenuzo cm. Koliko merita višina na stranico in stranica ?
Napačno
Odgovor je napačen. Pri reševanju naloge si pomagamo s Pitagorovim, višinskim in Evklidovima izrekoma:
cm | cm | cm. |
Kotne funkcije
Izračunajte:
Kotne funkcije
Podani so pravokotni trikotniki s pravim kotom pri oglišču . V okence zraven naloge vpišite velikost iskanega kota ali dolžino iskane stranice na dve decimalki natančno.
- cm, cm,
- cm, , cm
- dm, , dm
Rezultati
- Premice
- Razdalja med točkami
- Krožnica
- Krožnica
- Konveksnost
- Trikotnik
- Skladni trikotniki
- Merjenje kotov
- Koti
- Notranji in zunanji koti trikotnika
- Konstrukcija kotov
- Konstrukcija trikotnika
- Pitagorov izrek
- Pravokotna projekcija
- Zrcaljenje čez premico
- Togi premiki
- Lastnosti trikotnika
- Središčni kot
- Središčni in obodni kot
- Središčni in obodni kot
- Središčni in obodni kot
- Podobni trikotniki
- Podobnost
- Uporaba podobnosti
- Uporaba podobnosti
- Kotne funkcije
- Kotne funkcije
- Rezultati
