Kvadratna enačba in neenačba

Kvadratna enačba in neenačba

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Reševanje kvadratne enačbe in neenačbe, branje matematičnega besedila ter prevod v kvadratno enačbo

Več o projektu...

Kvadratna enačba

Enačbo imenujemo kvadratna enačba. Rešitvi kvadratne enačbe lahko izračunamo na dva načina:

  • z Vietovima formulama:
    kjer sta in korena oziroma rešitvi enačbe.
    Zanju veljata Vietovi formuli

  • z uporabo obrazca za reševanje kvadratne enačbe:
    Korena enačbe sta

    kjer je diskriminanta.

Pomen diskriminante:

PREMISLITE

V čem se ničle razlikujejo od korenov?

Odgovor

Ali kvadratna enačba v primeru nima nobenih rešitev?

Odgovor

Ničle in koreni

Ničle so točke, v katerih ima kvadratna funkcija vrednost 0, koreni pa so rešitve kvadratne enačbe. Ko iščemo ničle funkcije , v resnici rešujemo enačbo , zato so koreni te enačbe ravno ničle dane funkcije.

Primer:
Kvadratna funkcija ima eno dvojno ničlo , kvadratna enačba pa ima dva enaka korena .

Zapri

Kompleksne rešitve kvadratne enačbe

Ko je diskriminanta manjša od nič, kvadratna enačba nima realnih rešitev, ima pa rešitvi v obsegu kompleksnih števil. Pravimo jima konjugirano kompleksni rešitvi in ju zapišemo kot

Diskriminanta je večja od 0

Če ima kvadratna enačba diskiminanto večjo od 0, potem graf kvadratne funkcije seka abscisno os v dveh različnih točkah (v korenih enačbe).

(dis11.png)
Graf kvadratne funkcije z ter .
(dis12.png)
Graf kvadratne funkcije z ter .

Diskriminanta je manjša od 0

Če ima kvadratna enačba diskiminanto manjšo od 0, potem graf kvadratne funkcije ne seka abscisne osi.

(dis21.png)
Graf kvadratne funkcije z ter .
(dis22.png)
Graf kvadratne funkcije z ter .

Diskriminanta je enaka 0

Če ima kvadratna enačba diskiminanto enako 0, potem se graf kvadratne funkcije dotika abscisne osi v eni točki (v korenu enačbe).

(dis31.png)
Graf kvadratne funkcije z ter .
(dis32.png)
Graf kvadratne funkcije z ter .

Zgledi reševanja kvadratnih enačb

1. zgled: Razstavimo izraz .

  • Uporabimo Vietovi formuli: in .
  • Z ugibanjem dobimo rešitvi in .
(zgled1.png)
Graf kvadratne funkcije . Ničli sta ravno korena enačbe .

Zgledi reševanja kvadratnih enačb

2. zgled: Poiščimo realne rešitve enačbe z uporabo obrazca za reševanje kvadratne enačbe.

  • Uporabimo novo spremenljivko . Tako dobimo enačbo -
  • Enačbo lahko delimo z 2 ter dobimo .
  • Nato jo rešimo z uporabo diskriminante .
  • Velja .
  • Ker je , dobimo dve različni realni rešitvi:

  • Upoštevamo . To naredimo tako, da v enačbo vstavimo oba korena in izračunamo .

  • Tak v realnem ne obstaja.

  • Realni rešitvi enačbe sta torej

Kvadratna neenačba

Neenačba oblike ali , kjer , je kvadratna neenačba. Neenačbo rešimo tako, da najprej poiščemo morebitne ničle kvadratne funkcije ter določimo predznak vodilnega koeficienta , da vemo, če je graf konveksen ali konkaven. Potem narišemo skico grafa in zapišemo interval ali unijo intervalov, na katerih je kvadratna funkcija pozitivna oziroma negativna.

Zgled: Preverite možne rešitve neenačbe glede na vrednosti parametrov.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

PREMISLITE

Kdaj je parabola konveksna in kdaj konkavna?

Odgovor

Kakšna je lahko množica rešitev kvadratne neenačbe? Od česa je odvisna?

Odgovor

Kaj pa storimo, če so neenakosti stroge, torej oblike --> oziroma ?

Odgovor

Konveksnost in konkavnost parabole

Parabola, s katero opišemo graf kvadratne funkcije, je konveksna natanko takrat, ko je in konkavna natanko takrat, ko je .

Stroge neenakosti

Če so v kvadratnih neenačbah neenakosti stroge, ničel kvadratnih funkcij, ki ustrezajo neenačbam, ne upoštevamo v množici rešitev.

Množica rešitev kvadratne neenačbe

Možne rešitve neenačbe oblike lahko opišemo glede na vrednost parametra ter diskriminante (ki je seveda odvisna od izbire in ). V spodnji tabeli lahko vidite vse možnosti.

D>0D=0D<0
a >0
a <0

Če rešujete neenačbo , pa je najlažje, če jo pomnožite z ter gledate neenakost .

Kvadratna neenačba - zgled

Poglejmo si zgled reševanja kvadratne neenačbe. Denimo, da moramo rešiti neenačbo .

  1. Najprej poiščemo korene enačbe . To lahko storimo s pomočjo Vietovih pravil in dobimo ter .
  2. Vodilni koeficient , torej je večji od nič. Zato je funkcija konveksna, njen graf pa odprt navzgor.
  3. Narišemo skico funkcije.
  4. Ker mora biti v rešitvah vrednost , upoštevamo le tista števila, za katera je vrednost funkcije manjša od nič.
  5. Kot je razvidno iz skice, so to števila na odprtem intervalu .
(zgled_neenacba.png)
Skica kvadratne funkcije z označenim območjem rešitev.

Uporaba kvadratne neenačbe

Za katera števila velja: če kvadratu tega števila, zmanjšanemu za zmnožek tega števila s številom prištejemo , dobimo manj od ?

Oglejmo si postopek reševanje dane naloge:

  1. Označimo iskano število z . Potem je kvadrat tega števila enak .
  2. To število zmanjšamo za število .
  3. Vsemu skupaj prištejemo še .
  4. Ker mora biti vsota manjša od , dobimo kvadratno neenačbo .
  5. Kvadratno enačbo rešimo in dobimo dve rešitvi, in .
  6. Na skici grafa funkcije pogledamo, za katere so vrednosti manjše od .
  7. Dobimo interval rešitev, .

Grafični prikaz rešitve

Grafični prikaz rešitve

Poglejmo si, kdaj je .

(uporaba1.png)
Graf funkcije ter območje, kjer so vrednosti .

Ekstremalni problem

Vsota katet pravokotnega trikotnika meri . Določi dolžini katet tako, da bo hipotenuza najmanjša.

Oglejmo si postopek reševanja dane naloge:

  1. Vsoto katet in lahko zapišemo z .
  2. Eno kateto izrazimo z drugo; npr. .
  3. Za pravokotni trikotnik velja .
  4. V enačbo namesto vstavimo in dobimo .
  5. Ker želimo, da je hipotenuza najmanjša, moramo poiskati teme kvadratne enačbe na desni strani enakosti.
  6. Z dopolnitvijo do popolnega kvadrata dobimo .
  7. Hipotenuza je najkrajša, ko je in posledično .

Grafični poizkus

Grafični poizkus

Poskusite s premikanjem dolžine ene od katet poiskati najmanjšo možno vrednost hipotenuze.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

0%
0%