Naloga 1
Dane so funkcije:
V vseh štirih primerih je stopnja polinoma v števcu od stopnje polinoma v imenovalcu.
Hkrati narišimo vse štiri funkcije.
Oglejmo si sliko. Kaže, da imajo vse funkcije enako vodoravno asimptoto. Da bo to še bolj očitno, z nekaj pritiski na ali s klikom (ali več kliki) na ikono 
zmanjšajmo enoti na oseh. Vidimo, da imajo vse funkcije asimptoto z enačbo: .
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
V vseh štirih primerih je stopnja polinoma v števcu manjša od stopnje polinoma v imenovalcu.
Vse funkcije imajo asimptoto z enačbo: .
Asimptota je premica ali krivulja, ki se ji graf funkcije v neskončnosti vedno bolj približuje.
Naloga 2
Narišimo še grafe naslednjih treh funkcij:
V teh primerih je stopnja polinoma v števcu stopnji polinoma v imenovalcu.
Narišite grafe vseh treh racionalnih funkcij v isti koordinatni sistem. Da boste laže opazovali vedenje funkcij, spremenite velikost enot na koordinatnih oseh.
| Pravilno narisani grafi funkcij |
Ali imajo tudi te funkcije enako vodoravno asimptoto?
Kaj pa posamezna funkcija? Ali ima vsaka vodoravno asimptoto?
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Naloga 2
Opazujte vedenje funkcije v neskončnosti tako, da križec, "prilepite" na krivuljo. To naredite tako, da poskrbite, da je v oknu za risanje vključena izbira Options/Trace plots
. Takrat ima križec obliko kvadratka. Nato ga s pomočjo tipk – puščic gibljete po krivulji. Med krivuljami preskakujemo s puščicama gor in dol. Opazujte ordinate točk pri zelo velikih . Koordinate točke, v kateri je križec, so zapisane v levem spodnjem kotu zaslona. Pazite, da je vključena izbira Options/Follow cross
. Če ob teh premikih koordinatno središče izgubite, ga boste zopet postavili na izhodiščno mesto z izbirami Set/Cross position: Origin
ali pa z ikono 
.
Zapišite enačbe vodoravnih asimptot. Lahko jih tudi narišete k pripadajočim racionalnim funkcijam. Ulomke zapiši kot npr. .
Vodoravna asimptota funkcije je .
Vodoravna asimptota funkcije je .
Vodoravna asimptota funkcije je .
Kakšna je enačba vodoravne asimptote funkcije ?
Enačba vodoravne asimptote:
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Naloga 2
Poglejmo, kakšen je zapis funkcije , če polinom v števcu delimo s polinomom v imenovalcu. Pri tem si pomagajmo s programom DERIVE. Vnesemo izraz in uporabimo ukaz Simplify/Expand . S klikom na gumb Expand dobimo kvocient in ostanek, kar lahko zapišemo kot , pri čemer je v drugem členu stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. Kako se ta obnaša, ko gre ?
Kvocient gre pri neskončno velikih proti
To pomeni, da se funkcijska vrednost funkcije pri neskončno velikih približuje vrednosti , ali drugače, da je vodoravna asimptota funkcije premica .
Na enak način zapišite še funkciji in in se na ta način prepričajte, če ste zapisali pravilni asimptoti teh dveh funkcij.
Ali lahko graf funkcije seka pokončno asimptoto?
Zakaj?
Ali lahko graf funkcije seka vodoravno asimptoto?
| Namig |
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Poglej graf funkcije .
Naloga 3
Ugotovitve iz prejšnjih dveh nalog nam bodo pomagale pri reševanju zadnje naloge. v Dane so funkcije:
Narišite njihove grafe vsakega v svoje okno za risanje. To storite tako, da zapišete izraz, odprete novo okno z Window/New 2D-plot Window , kjer ga narišete. Ko boste ponovno želeli pogledati katerega od štirih grafov, jih boste našli pod izbiro Window , kjer bodo spodaj našteta risarska okna: 2 2D-plot , 3 2D-plot , ...
| Pravilno narisani grafi funkcij |
Ali imajo te funkcije vodoravno asimptoto?
V vseh štirih primerih je stopnja števca od stopnje imenovalca.
Poglejte najprej prva dva primera. Kolikšna je razlika stopenj? Razlika stopenj je:
Opazujte grafa prvih dveh funkcij. Kakšna sta grafa teh funkcij pri neskončno velikih vrednostih ?
Se grafa ostalih dveh funkcij pri neskončno velikih vedeta kot prva dva?
Kakšna je razlika stopenj polinoma v števcu in polinoma v imenovalcu pri funkciji in kakšna pri ?
Razlika stopenj je pri tretji in pri četrti funkciji.
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi.
Preberi si rešitev.
Rešitev:
Naloga 3
Izpolnite naslednjo tabelo.
| Funkcija | Izraz preoblikujte z ukazom Simplify/Expand | Asimptota funkcije | Presečišča z asimptoto |
| |||
| |||
| |||
|
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi.
Preberi si rešitev.
Rešitev:
| Funkcija | Izraz preoblikujte z ukazom Simplify/Expand | Asimptota funkcije | Presečišča z asimptoto |
| Ni presečišča. | |||
| Ni presečišča. | |||
| Ni presečišča. |
Naloga 3
Dane so funkcije:
Ali lahko graf funkcije seka vodoravno, poševno asimptoto ali asimptotsko krivuljo?
Vzemimo na primer graf druge funkcije (zmanjšajte velikost enot na koordinatnih oseh). Kako določimo točko, v kateri graf funkcije seka asimptoto? Lahko jo preberemo s slike, lahko jo določimo s pomočjo križca, ki ga postavimo v presečišče grafa funkcije z asimptoto, lahko pa določimo to presečišče računsko. Kako?
| Preveri |
Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi.
Preberi si rešitev.
Rešitev:
