Kaj je piramida
| Piramida je oglato geometrijsko telo, ki ga omejuje ena osnovna ploskev (poljuben n-kotnik) in n stranskih ploskev, ki so trikotniki. Vse stranske ploskve se stikajo v isti točki – vrhu piramide. |
Stranice vseh mejnih ploskev imenujemo robovi piramide. Osnovno ploskev omejujejo osnovni robovi, stranske pa po en osnovni rob in dva stranska robova. Višina piramide je oddaljenost vrha od osnovne ploskve.
Piramida je pokončna, če so vsi stranski robovi enako dolgi.
Kaj je piramida
Razmišljaj o trikotnikih , , , .
Vsi trikotniki morajo biti med sabo skladni, saj imajo enak (pravi) kot, isto kateto (višino piramide) in enako dolgo hipotenuzo. Potem so vsa štiri oglišča enako oddaljena od nožišča višine intočka S mora biti središče osnovni ploskvi očrtanega kroga.
Pokončna piramida torej obstaja samo nad takimi osnovnimi ploskvami, ki jim je mogoče očrtati krog. Višina pokončne piramide mora ležati nad središčem tega kroga.
Vprašanje za razmislek
Ali so mogoče enakorobne piramide s poljubnim številom stranskih ploskev?
Mreža
Mrežo piramide dobimo, če vse njene ploskve razgrnemo v isto ravnino.
Na aktivni sliki lahko premakneš točko na drsniku in opazuješ nastanek mreže pravilne štiristrane piramide.
Sam si nariši še mreže pravilne tristrane in pravilne šeststrane piramide.
V nadaljevanju se omejimo na pravilne piramide.
Zveze med , , in pri pravilni tristrani piramidi
Na naslednji aktivni sliki si lahko ogledaš pravilno tristrano piramido. Z njeno pomočjo bomo poiskali zveze med posameznimi količinami: osnovnim robom , stranskim robom , višino in stransko višino , bolj zavzeti pa lahko določite še kot med osnovno in stransko ploskvijo in kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom, ki na sliki sicer nista označena. Piramido lahko "obračaš" z uporabo drsnikov (α in β).
Zveze med , , in pri pravilni tristrani piramidi
Drugi dve kateti skupaj tvorita višino enakostraničnega trikotnika, nožišče višine (točka na sliki) pa je hkrati tudi težišče, torej je razmerje med deloma 2:1.
Zveze med , , in pri pravilni tristrani piramidi
| Sedaj si oglej stransko ploskev. Stranska višina jo razdeli v dva skladna pravokotna trikotnika. Zapiši Pitagorov izrek še za enega od njiju. | Rešitev |
| Poskusi določiti kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom. Za to potrebuješ kot med premico in ravnino. Se ga še spomniš? | Rešitev |
| Kaj je torej pravokotna projekcija stranskega roba na ravnino osnovne ploskve? Kako bi kot izračunal? | Rešitev |
Kot med premico in ravnino je enak kotu med premico in njeno pravokotno projekcijo na to ravnino.
Pravokotna projekcija leži na višini osnovne ploskve. Kot med stranskim robom in višino osnovne ploskve pa lahko izračunaš s pomočjo kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku. Katero kotno funkcijo boš uporabil, je odvisno od podatkov, npr. .
Zveze med , , in pri pravilni tristrani piramidi
Ta kot dobimo tako, da si na presečišču obeh ravnin (v našem primeru obeh ploskev) izberemo poljubno točko in iz nje potegnemo pravokotnici na obe ploskvi. Kot med tema pravokotnicama je tudi kot med ploskvama.
Točka je razpolovišče osnovnega roba. Tudi v tem primeru določimo kot s pomočjo kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku, npr.
Zveze med , , in pri pravilni tristrani piramidi
Poglejmo si vse povezave še enkrat. Ne pozabi, da lahko kote dobiš tudi z ostalimi kotnimi funkcijami, če so podatki za to primerni.
Kot med osnovno in stransko ploskvijo: , |
Zveze med , , in pri pravilni štiristrani piramidi
Reši podoben problem pri pravilni štiristrani piramidi.
Razišči povezavo med stranskim robom in višino ter med telesno in stransko višino piramide. Rešitev
Stranski rob in višino piramide povezuje obrazec stransko in telesno višino pa Preostale povezave so enake za vse tipe pravilnih piramid. |
Zveze med , , in pri pravilni šeststrani piramidi
Reši še primer pri pravilni šeststrani piramidi.
Razišči povezavo med stranskim robom in višino ter med telesno in stransko višino piramide. Rešitev
Stranski rob in višino piramide povezuje obrazec stransko in telesno višino pa Preostale povezave so enake za vse tipe pravilnih piramid. |
Primera
1. primer
Pravilna štiristrana piramida ima višino 11 dm, njena stranska višina pa je 15 dm. Izračunaj njen osnovni , stranski rob ter kot , ki ga oklepata osnovna in stranska ploskev.
Odgovor: Izračunam, da =
28,77
20,40
18,50
18,14
21,58
19,49
55,13
47,17
dm, =
28,77
20,40
18,50
18,14
21,58
19,49
55,13
47,17
dm, =
28,77
20,40
18,50
18,14
21,58
19,49
55,13
47,17
°.(Če se tvoji rezultati zelo malo razlikujejo od pravilnih, si bil verjetno malo preveč ohlapen pri zaokrožanju.)
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Izračunam, da , , °.
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Primera
2. primer
Osnovni rob pravilne tristrane piramide meri 4,4 cm, njen stranski rob pa 6 cm. Izračunaj telesno in stransko višino te piramide in kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom.
Odgovor: Izračunam, da =
28,77
5,44
18,50
5,58
21,58
64,95
39,40
53,12
cm, =
28,77
5,44
18,50
5,58
21,58
64,95
39,40
53,12
cm, =
28,77
5,44
18,50
5,58
21,58
64,95
39,40
53,12
°. (Če se tvoji rezultati zelo malo razlikujejo od pravilnih, si bil verjetno malo preveč ohlapen pri zaokrožanju.)
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Izračunam, da , , °.
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Površina piramide
Površina piramide je vsota ploščin vseh mejnih ploskev. To so osnovna ploskev in stranske ploskve, ki skupaj tvorijo plašč. Pri pravilni piramidi je plašč sestavljen iz trikotnikov, ki so med seboj skladni. Površino pravilne piramide lahko torej izračunamo po obrazcu:
Prostornina piramide
Poglej spodnjo aktivno sliko. Zgrabi in premikaj točko v desno. Tristrana prizma bo "razpadla" na tri piramide. Razmisli, zakaj imata piramidi in enaki prostornini. Zakaj imata piramidi in enaki prostornini?
Primeri
1. primer
Pravilna štiristrana piramida je visoka 24 cm, njen stranski rob pa meri 30 cm. Izračunajmo njeno površino in volumen. Pomagaj si s spodnjimi podvprašanji.
| a) | Za površino in volumen potrebujemo še dolžino osnovnega roba in stransko višino. Poišči ustrezno zvezo in izračunaj najprej osnovni rob. | Pomoč | |
| b) | Sedaj potrebuješ še stransko višino. To lahko izračunaš po dveh poteh. | Pomoč | |
| c) | Vstavi te podatke v prave formule. | Rešitev |
Če narišeš primerno sliko, boš videl, da velja med količinami zveza
osnovni rob pa je dolg = 25,46 cm.
Lahko uporabiš kar pravokotni trikotnik, ki je polovica stranske ploskve
ali pa tistega, ki ima za eno kateto višino piramide
V obeh primerih dobiš =27,17 cm.
Primeri
2. primer
Pravilna tristrana piramida ima osnovni rob = 7,3 cm in stransko višino = 6,4 cm. Izračunaj njeno površino in prostornino.
Odgovor: Izračunam, da površina dane piramide znaša
njena prostornina pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Površino piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, površino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Odgovor: Izračunam, da površina dane piramide znaša , njena prostornina pa .
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Primeri
3. primer
Pravilna šeststrana piramida ima osnovni rob 8 m in višino 9 m. Izračunaj in označi njeno površino in prostornino.
Odgovor: Izračunam, da površina dane piramide znaša
njena prostornina pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Površino piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, površino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Odgovor: Izračunam, da površina dane piramide znaša , njena prostornina pa .
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Tetraeder
Beseda tetraeder (slovensko četverec) pomeni telo, ki ga omejujejo štiri ploskve – torej tristrano piramido. Ponavadi pa besedo uporabljamo samo za enakorobo tristrano piramido, torej telo, ki ga omejujejo štirje enakostranični trikotniki.
Razišči spodnji tetraeder, izpelji povezavo med njegovim osnovnim robom in višino in nato zapiši formuli za površino in prostornino telesa.
Rešitev
Oktaeder
Med piramidami ponavadi omenjamo tudi oktaeder (osmerec). To telo ni piramida, ampak je sestavljeno iz dveh skladnih enakorobih štiristranih piramid, ki sta "zlepljeni" z osnovnima ploskvama. Omejuje ga torej osem enakostraničnih trikotnikov.
Tudi pri oktaedru najprej izračunaj višino ene piramide, nato pa še površino in volumen.
Naloge
1. naloga
Pravilni tetraeder in pravilni oktaeder imata enako površino. Izberi pravilno zvezo med robom tetraedra in oktaedra .
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Zveza med robom tetraedra in oktaedra je .
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
2. naloga
Pravilna štiristrana piramida z osnovnim robom 4,4 cm ima površino enako 58,96 . Izračunaj stransko višino te piramide.
Odgovor: Stranska višina te piramide meri
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Stranska višina te piramide meri = 4,5 cm.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
3. naloga
Stranska višina pravilne šeststrane piramide meri 7,6 cm in je enaka premeru osnovne ploskve očrtanega kroga. Izračunaj površino in prostornino te piramide.
Odgovor: Površina dane piramide meri
prostornina pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Površino piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, površino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Površina dane piramide meri P = 124,16 , prostornina pa V = 85,67 .
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Naloge
4. naloga
Pravilna tristrana piramida ima osnovni rob 12 cm, njena višina pa je enaka polmeru osnovni ploskvi včrtanega kroga. Koliko merita površina in prostornina te piramide?
Odgovor: Površina dane piramide meri
prostornina pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Površino piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, površino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Površina dane piramide meri P = 150,54 , prostornina pa V = 72 .
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Naloge
5. naloga
Stranski rob pravilne šeststrane piramide meri 7,4 cm in oklepa z osnovno ploskvijo kot 68°. Izračunaj površino in volumen piramide.
Odgovor: Površina dane piramide meri
prostornina pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Površino piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, površino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Površina dane piramide meri P = 80,42 , prostornina pa V = 45,66 .
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Naloge
6. naloga
Plašč pravilne štiristrane piramide je šestkrat večji od osnovne ploskve, površina meri 40,32 . Izračunaj prostornino in kot med osnovno in stransko ploskvijo.
Odgovor: Prostornina dane piramide meri
kot med osnovno in stransko ploskvijo pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, kot med osnovno in stransko ploskvijo poskusi izračunati še enkrat.
Kot med osnovno in stransko ploskvijo piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Prostornina dane piramide meri V = 13,63 , kot med osnovno in stransko ploskvijo pa = 80,41°.
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Naloge
7. naloga
Osnovni robovi pokončne tristrane piramide merijo 5 cm, 7,8 cm in 11,2 cm. Višina piramide je enaka polovičnemu obsegu osnovne ploskve. Kolikšen je volumen?
Odgovor: Volumen dane piramide meri
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Volumen dane piramide meri V = 67,2 .
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
8. naloga
Osnovna ploskev pokončne piramide je pravokotnik s stranicama 18 cm in 32 cm, stranski rob meri cm. Kolikšni sta površina in prostornina?
Odgovor: Površina dane piramide meri
prostornina pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
Površino piramide si izračunal pravilno, prostornino poskusi izračunati še enkrat.
Prostornino piramide si izračunal pravilno, površino poskusi izračunati še enkrat.
REŠITEV
Površina dane piramide meri P = 1416 , prostornina pa V = 2304 .
Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
Naloge
9. naloga
Kovinski pravilni tetraeder z robom 6 cm pretalimo v pravilni oktaeder. Koliko meri rob nastalega oktaedra?
Odgovor: Rob nastalega oktaedra meri
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Rob nastalega oktaedra meri = 3,78 cm.
