Graf racionalne funkcije in absolutna vrednost (Derive)

Avtor: Aktivna matematika

Težavnost:

Zgled

V tej vaji si bomo ogledali, kako se razlikujejo grafi funkcij , , , , , in , če je racionalna funkcija. Poglejmo zgled.
Dana je funkcija . Narišimo najprej graf te funkcije.

Vnesemo izraz (x^3 - x^2 - x + 1)/(x^3 + 2x^2 – 4x - 8)
Preidemo v okno za risanje: Window/New 2D-plot Window
Narišemo graf: Insert/Plot
Popravimo velikost enot na koordinatnih oseh: Options/Display/Grids: Horizontal: 12, Vertical: 12

Zgled

Narišimo sedaj graf funkcije :

Najprej preidemo v okno z izrazi. Uporabimo ukaz Window in izberemo okno 1 Algebra.
Vnesemo ustrezni izraz. Ker je kot prvi izraz že vpisan izraz, ki določa funkcijo , vpišemo abs(#1).
Preidemo v okno za risanje: Window in izberemo okno 2 2D-plot.
Narišemo graf.

Podobno narišemo še graf funkcije . Tu kot izraz vnesemo -#1. Narišimo sedaj še graf funkcije .
Tudi tu lahko zapisovanje skrajšamo.

Osvetlimo izraz, ki predstavlja začetno funkcijo.
V njem zamenjamo z : Simplify/Variable Substitution in vpišemo abs(x).
Narišemo graf funkcije.

Na enak način, le da v izrazu #1 zamenjamo z , narišemo graf funkcije .

1. naloga

Narišite graf racionalne funkcije . Narišite še grafa funkcij in . Grafi naj bodo vsak v svojem oknu, vendar jih zložite tako, da bodo hkrati na zaslonu.

Rešitev

Vnesemo izraz (x^2 + 4x + 4) / (x + 3).
Narišemo graf in se vrnemo v okno z izrazi.
Z zamenjavo spremenljivke z : Simplify/Variable Substitution dobimo funkcijo .
Z Window/New 2D-plot Window; naredimo novo okno za risanje, kjer narišemo graf funkcije .
Vrnemo se v okno z izrazi in z izrazom -#1 naredimo funkcijo .
Spet z Window/New 2D-plot Window; naredimo novo okno za risanje, kjer narišemo graf funkcije .
V izbiri Window/Tile Horizontally zložimo okna drugo ob drugo. Okna za risanje opremimo še z napisi, ki povedo za katero funkcijo gre. Tako bo slika bolj pregledna.

2. naloga

Naj bo inverzna funkcija k funkciji . Narišite graf funkcije ter morebitne poševne in navpične asimptote. Pri določanju inverzne funkcije si pomagamo z računalnikom. Funkcijo moramo najprej zapisati z enačbo . Z ustreznim ukazom zamenjamo z in obratno. To storimo takole:

izbira Simplify/Variable Substitution
zamenjamo z in obratno.
Dobimo izraz

Če želimo iz dobljene enačbe izraziti , uporabimo Solve/Expression in pri vprašanju, katero spremenljivko želimo izraziti, izberemo ter kliknemo na Solve.

Rešitev

Funkcijo zapišemo z enačbo .
Z zamenjavo spremenljivk zamenjamo z in obratno.
Dobimo izraz

Uporabimo Solve/Expression.
Pri vprašanju, katero spremenljivko želimo izraziti, izberemo ter kliknemo Solve.
Dobimo .
Narišemo graf in se vrnemo v okno z izrazi. S postopkom, ki ga poznamo iz vaje Graf racionalne funkcije določimo in narišemo obe asimptoti ( in ).