Linearna funkcija je definirana s predpisom
kjer sta in realni števili. Število imenujemo smerni koeficient, število pa začetna vrednost linearne funkcije. Smerni koeficient funkcije določa strmino grafa funkcije. Graf linearne funkcije je premica.
Linearna funkcija - teorija
Linearna funkcija - teorija
Skupina NAUK
Razumevanje predpisa linearne funkcije, risanje grafa ter uporaba linearne funkcije v praktičnih situacijah, pomen različnih oblik zapisa enačbe premice, reševanje linearnih enačb in neenačb ter reševanje sistema linearnih enačb.
Definicija linearne funkcije
Smerni koeficient
Za je linearna funkcija naraščajoča, za je padajoča.
Začetna vrednost
Začetna vrednost določa presečišče grafa linearne funkcije z ordinatno osjo.
Premica in linearna funkcija
Graf linearne funkcije je torej premica. Vendar vsaka premica ne predstavlja grafa linearne funkcije.
Premico lahko zapišemo v treh oblikah:
- EKSPLICITNA OBLIKA:
Enačbe premice v eksplicitni obliki ne moremo zapisati za premice, ki so vzporedne ordinatni osi.
- IMPLICITNA OBLIKA:
Implicitno obliko enačbe premice lahko zapišemo za vse premice.
- ODSEKOVNA OBLIKA: .
Presečišči z osema sta točki in .
Le tiste premice, ki jih lahko zapišemo tudi v eksplicitni obliki, predstavljajo graf linearne funkcije.
Zgled: Zapišite enačbo premice v vseh treh oblikah.
Odsekovna oblika
Odsekovne oblike enačbe premice ne moremo zapisati za tiste premice, ki gredo skozi koordinatno izhodišče ali so vzporedne kateri izmed obeh osi.
Enačba premice skozi dve točki
Linearno funkcijo skozi dve točki in zapišemo tako, da najprej izračunamo smerni koeficient in nato uporabimo enačbo iz katere izrazimo :
Zgled: Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki in , v eksplicitni, implicitni in odsekovni obliki.
Vzporednost in pravokotnost
Premici z enačbama in sta vzporedni natanko takrat, ko sta njuna smerna koeficienta enaka, torej . Premici sta pravokotni natanko takrat, ko je produkt njunih smernih koeficientov enak -1, torej .
Kot med premicama
Kot med premicama lahko dobimo iz enačbe .
Graf linearne funkcije
Ničlo linearne funkcije določimo iz enačbe , kjer . Število je ničla linearne funkcije natanko takrat, ko je , torej . Premica torej seka abscisno os v točki .
Začetna vrednost določa presečišče grafa linearne funkcije z ordinatno osjo. Premica torej seka ordinatno os v točki . Premica je določena z dvema točkama, torej lahko njen graf že narišemo.
Linearna enačba z eno neznanko
Zapis oziroma imenujemo linearna enačba.
Rešitve linearne enačbe:
- Za je rešitev linearne enačbe natanko eno realno število: .
- Za in je enačba identiteta.
- Za in enačba nima rešitve.
Ekvivalentnost enačb
Dve linearni enačbi, ki imata isto rešitev, imenujemo ekvivalentni linearni enačbi.
Geometrijski pomen
Rešitev linearne enačbe nam pove ničlo linearne funkcije oziroma presečišče premice z abscisno osjo.
Linearna neenačba z eno neznanko
Linearna funkcija je pozitivna, če je , in je negativna, če je . Zastavljena pogoja sta linearni neenačbi.
Rešitve linearne neenačbe:
- Za je rešitev poltrak .
- Za je rešitev poltrak .
- Za in je linearna neenačba identiteta.
- Za in linearna neenačba nima rešitve.
Izhodišče obeh poltrakov je ničla funkcije.
Podani imamo dve linearni neenačbi z dvema neznankama in : in . Rešitev sistema predstavimo v ravnini kot presek ustreznih polravnin, ki zadoščata danima neenačbama.
Reševanje linearnih neenačb
Zgled: Rešimo neenačbo .
Rešitev:
Najprej pomnožimo celo enačbo s 15 in dobimo:
Prenesemo člene in izrazimo :
Rešitev neenačbe je poltrak oz. zapisano z intervalom .
Znak neenakosti
Če neenačbo množimo ali delimo z , se nam znak neenakosti obrne.
Sistem linearnih enačb
Če imamo podani dve linearni enačbi z dvema neznankama, pravimo, da imamo podan sistem dveh linearnih enačb: in . Rešitev sistema je tak par števil , ki zadošča obema enačbama.
Geometrijski pomen sistema linearnih enačb:
- Če ima sistem natanko eno rešitev, potem je rešitev točka, v kateri imata dani funkciji presečišče (Slika 1).
- Če ima sistem neskončno mnogo rešitev, potem dani funkciji sovpadata (Slika 2).
- Če sistem nima rešitve, potem sta dani funkciji vzporednici (Slika 3).
|
|
|
Reševanje sistema linearnih enačb
Zgled: Dani sta funkciji in .
a) Izračunajte presečišče premic.
b) V ravnini poiščite množico točk , za katere velja in .
Rešitev:
a) V sistemu enačb imamo dve linearni enačbi z dvema neznankama: in .
Izenačimo:
Vstavimo v eno izmed enačb in izračunamo :
Dobimo presečišče premic v točki .
b) Narišemo grafa danih funkcij in označimo presek polravnin, ki ustrezajo danim neenačbam.
Fizikalna naloga
Motorist se odpravi iz Ljubljane v Celje in nato naprej v Maribor. Razdalja med Ljubljano in Celjem je km. Od Celja do Maribora vozi min s hitrostjo km/h. Kolikšno pot je prevozil motorist?
