V polkrog z radijem včrtamo pravokotnik. Zanima nas največja ploščina, ki jo ima ta pravokotnik.
Odvod in ekstrem (Derive)
Odvod in ekstrem (Derive)
Aktivna matematika
Učni list o zvezi med ekstremi in prvim odvodom s pomočjo programa Derive 6.
1. naloga
Narišemo skico:
Dolčino označimo z in višino z . Spremenljivka lahko zavzame poljubno vrednost med in . Naloga je torej poiskati absolutni maksimum funkcije na intervalu [, ]. Najprej narišimo funkcijo
| 2x sqrt(4-x^2) |
Plot
ali 
|
Vidimo, da ima funkcija en maksimum približno na sredini intervala.
1. naloga
Izračunajmo še odvod
| Algebra |
| Calculus/Differentiate : #1 |
in ga narišimo.
| Plot
ali
|
Tudi na sliki vidimo, da funkcija res doseže maksimum tam, kjer ima odvod ničlo. S pomočjo grafičnega križca lahko približno odčitamo rešitev. S puščicami se premaknemo tja, kjer graf odvoda seka abciso in v levem spodnjem kotu odčitamo koordinate križca.
1. naloga
Rešiti moramo torej enačbo . S tem dobimo kritične točke.
| Algebra |
| Solve/Expression/Solve: #3 |
Derive kot rešitvi izpiše in . Slika na zaslonu je sedaj taka:
1. naloga
Rešitev nas ne zanima, saj leži izven območja, ki nas zanima (pravokotnik ne more imeti negativne dolžine). Izračunamo vrednost funkcije v kritičnih točkah in na robovih intervala:
| (minimum) | ||||||
| (maksimum) | ||||||
| (minimum) |
| Simplify/Variable Substitution/Simplify : #1/0 |
| Simplify/Variable Substitution/Simplify : #1/SQRT(2) |
| Simplify/Variable Substitution/Simplify : #1/2 |
Rešitev našega problema je torej, da je maksimalna vrednost ploščine pravokotnika in da ima pravokotnik dolžino in višino
2. naloga
Poišči ploščino največjega pravokotnika, ki ima osnovnico na osi in zgornji oglišči na paraboli .
| 1) | Nariši skico. |
| 2) | Napiši izraz zaploščino, ki jo iščeš (). |
| 3) | Določi definicijsko območje gornje funkcije. |
| 4) | Preveri kritične in robne točke: |
| a) Določi odvod . | |
| b) Reši . | |
| c) Izračunaj v kritičnih in robnih točkah. | |
| d) Nariši graf funkcije in odvoda (s pomočjo spreminjanja merila boš graf lahko opazoval bolje. S tipkama F9 / F10 spreminjaš merilo na obeh oseh, F7 / F8 merilo na osi, SHIFT F7 / SHIFT F8 pa merilo na osi). | |
| 5) | Zapiši rešitev problema. |
3. naloga
Narediti moramo pločevinko v obliki valja, v katero gre liter ( ) tekočine. Pločevina, ki jo uporabimo za dno in vrh nas stane centa za , stranska pločevina pa centa za . Kakšno pločevinko bomo oblikovali, da bo čim cenejša?
Volumen pločevinke je . Iz tega lahko izračunamo, da je polmer spodnjega (zgornjega) dela .
| 1) | Zapiši stroške za pločevino kot funkcijo višine pločevinke (). |
| 2) | Določi odvod . |
| 3) | Reši . |
| 4) | Izračunaj v kritičnih in robnih točkah. |
| 5) | Nariši graf funkcije in odvoda. |
| 6) | Zapiši rešitev. |
Kaj pa, če bi postopal malo drugače in bi višino pločevinke izrazil kot funkcijo polmera osnovne ploskve? Ali dobiš drugačen rezultat? Ponovi nalogo še s tem, da spremeniš ceni za pločevino.
