Maksimum in minimum funkcije (Derive)

Maksimum in minimum funkcije (Derive)

Avtor: Aktivna matematika

Težavnost:

Učni cilji: Gradivo o zvezi med ekstremi in prvim odvodom s pomočjo programa Derive 6.

Več o projektu...

Uvod

Z naslednjimi vajami želimo praktično prikazati povezavo med lokalnimi ekstremi funkcije in ničlami prvega odvoda. Obenem opazujemo, kaj se dogaja v točkah, kjer odvod ni definiran - kako je z ekstremom tam. Vaje izkoristimo še za ponavljanje zveze med naraščanjem/padanjem funkcije in predznakom odvoda.

Če je funkcija v točki odvedljiva in ima v tej točki lokalni maksimum oz. minimum, potem mora graf odvoda v tej točki sekati os . Zato je koristno primerjati ničle odvoda f’(x) s točkami lokalnega minimuma/maksimuma funkcije . Kaj pa če funkcija v neki točki ni odvedljiva?

V nalogah - imaš pet funkcij. Izvedi opisani postopek in odgovori na vprašanja. Na osnovi ugotovitev reši še nalogi 6 in 7.

Postopek

1)Za vsako od spodaj navedenih funkcij s pomočjo programa Derive skiciraj funkcijo in prvi odvod.
Pri tem boš potreboval ukaze  Author  ,  Calculus/Differentiate  ,  Simplify  in  Plot  .
2)Za vsako od spodaj navedenih funkcij s pomočjo programa Derive na danem intervalu poišči:
a)intervale, kjer funkcija narašča in intervale, kjer funkcija pada,
b)lokalne ekstreme funkcije na danem intervalu,
c)absolutni ekstrem funkcije na danem intervalu,
d)ničle .
3)Opazuj, v kakšni povezavi so ničle in lokalni ekstremi .



Opomba: s pomočjo spreminjanja merila boš določene grafe lahko opazoval bolje. S tipkama  F9  / F10  spreminjaš merilo na obeh oseh,  F7  / F8  merilo na osi,  F5  / F6  pa merilo na osi .

1. naloga

Dano imaš funkcijo na intervalu [,]. Funkcijo v programu Derive zapišeš takole:  4x^2-x^4  .

a)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
b)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
Lokalni minimumi funkcije na danem intervalu so .
c)Absolutni maksimum funkcije na danem intervalu je .
Absolutni minimum funkcije na danem intervalu je .
d)Ničle so .
e)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
f)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
g)Nariši skico funkcije in odvoda.

2. naloga

Dano imaš funkcijo na intervalu [,]. Funkcijo v programu Derive zapišeš takole:  (x^2-1)/(x+2)  .

a)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada so, .
b)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
Lokalni minimumi funkcije na danem intervalu so .
c)Absolutni maksimum funkcije na danem intervalu je .
Absolutni minimum funkcije na danem intervalu je .
d)Ničle so .
e)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
f)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
g)Nariši skico funkcije in odvoda.

3. naloga

Dano imaš funkcijo na intervalu [,]. Funkcijo v programu Derive zapišeš takole:  x((1-x)^2)^(1/3)  .

a)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
b)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
Lokalni minimumi funkcije na danem intervalu so .
c)Absolutni maksimum funkcije na danem intervalu je .
Absolutni minimum funkcije na danem intervalu je .
d)Ničle so .
e)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
f)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
g)Nariši skico funkcije in odvoda.

4. naloga

Dano imaš funkcijo na intervalu [,]. Funkcijo v programu Derive zapišeš takole:  x(x-4)^3  .

a)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
b)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
Lokalni minimumi funkcije na danem intervalu so .
c)Absolutni maksimum funkcije na danem intervalu je .
Absolutni minimum funkcije na danem intervalu je .
d)Ničle so .
e)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
f)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
g)Nariši skico funkcije in odvoda.

5. naloga

Dano imaš funkcijo

na intervalu [,]. Funkcijo v programu Derive zapišeš takole:  IF(x <= 0, x^2 - 1, 1 - x^2)  . Odvode boš moral izračunati peš!

a)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
b)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
Lokalni minimumi funkcije na danem intervalu so .
c)Absolutni maksimum funkcije na danem intervalu je .
Absolutni minimum funkcije na danem intervalu je .
d)Ničle so .
e)Intervali, kjer funkcija narašča, so .
Intervali, kjer funkcija pada, so .
f)Lokalni maksimumi funkcije na danem intervalu so .
g)Nariši skico funkcije in odvoda.

6. naloga

Razloži, zakaj mora graf sekati os v točki , če ima v tej točki funkcija lokalni minimum ali maksimum.

Odgovor:

7. naloga

Opiši, na kakšen način se lahko funkcija vede v tistih točkah, kjer prvi odvod ne obstaja. Uporabi funkcije iz nalog - kot primere.

Odgovor:

0%
0%