Lastnosti ploščine
Ploščino posameznih likov bomo označevali z . Ustrezna enota je kvadratni meter(), kvadratni decimeter(), kvadratni centimeter()... predstavlja ploščino kvadrata s stranico . Velja, da imajo skladni liki enako ploščino in da je ploščina lika enaka ploščino.
Ploščine in obsegi likov:
| Skica | 
| 
| 
|
| Lik | Pravokotnik | Kvadrat | Paralelogram |
| Ploščina | ali | ||
| Obseg |
Če je lik manjši, naredimo njegov odtis na milimetrski papir, preštejemo vse kvadratne centimetre, ki jih lik pokriva, nato preštejemo še vse kvadratne centimetre, ki so skupni z likom, pa niso celi. To sta spodnja in zgornja meja ploščine lika. Postopek ponovimo še s preštevanjem kvadratnih milimetrov, spet dobimo spodnjo in zgornjo mejo ploščine... Ploščina lika je vmesna vrednost med zgornjo in spodnjo mejo, ki se razlikujeta za malo. Večje like nepravilne oblike pa namesto na milimetrski papir položimo na večje ploskve.
Ploščine-nadaljevanje
| Skica | 
| 
| 
| 
|
| Lik | Trikotnik | Pravokotni trikotnik | Enakostranični trikotnik | Trapez |
| Ploščina | ali | |||
| Obseg |
Če sta in dolžini diagonal štirikotnika , pa kot med njima, potem je ploščina štirikotnika enaka (odgovorite še na vprašanje pod PREMISLITE).
Diagonali sta pravokotni pri kvadratu, rombu in deltoidu. Zato je ploščina kvadrata, romba in deltoida
Zgledi
1. Koliko meri ploščina trikotnika s podatki , , ?
Ploščina trikotnika se lahko izračuna tudi z obrazcem . Ker imamo vse podatke, jih vstavimo v enačbo: .
2. Dolžini diagonal romba sta v razmerju , njegova ploščina pa je . Koliko merita diagonali?
,
in .
3. Na vrtu imamo peskovnik dimenzij x . Želimo narediti nov peskovnik, ki bo kvadraten in bo zasedel enako prostora. Kakšnih dimenzij mora biti nov peskovnik?
Ker želimo, da zasede enako prostora, moramo enačiti ploščine peskovnikov. Ploščina sedanjega je . Stranica novega je zato .
Polmer trikotniku včrtanega kroga
Središče trikotniku včrtanega kroga je presečišče simetral kotov. Ploščina trikotnika je ploščina treh trikotnikov, ki ga sestavljajo, ploščina , ploščina in ploščina . Zato je ploščina trikotnika enaka
Polovico obsega trikotnika označujemo s črko , zato lahko zapišemo . Od tod dobimo obrazec za polmer trikotniku včrtanega kroga:
Heronov obrazec
S pomočjo Heronovega obrazca lahko izračunamo ploščino poljubnega trikotnika, če imamo podane vse tri njegove stranice:
kjer je že prej omenjena polovica obsega trikotnika: .
Zgled:
Koliko meri ploščina trikotnika s stranicami , in ?
, po Heronu je ploščina triktonika .
Kolikšen je polmer temu trikotniku včrtanega kroga?
Izračunali smo ploščino trikotnika in , zato lahko izračunamo polmer:
.
Sinusni izrek
Če uporabimo kotno funkcijo sinus v trikotniku , dobimo . Ploščina trikotnika je enaka polovici zmnožka stranice in višine na stranico: . Podobno lahko zapišemo tudi za ostala dva kota: in . Če obrazca enačimo in krajšamo z , dobimo enakost ali . Enak je tudi količnik . To je sinusni izrek, s pomočjo katerega lahko iz podane stranice in dveh kotov lahko izračunamo ostale stranice:
Pri računanju kotov z uproabo sinusnega izreka moramo paziti, da ne izpustimo kakšne rešitve:
Na koncu moramo vedno preveriti, če ta rešitev res ustreza.
Polmer trikotniku očrtanega kroga
Središče trikotniku očrtanega kroga je presečišče simetral stranic. Velja . Podobno velja tudi za ostale stranice, zato je
Če upoštevamo, da je ploščina trikotnika enaka , je obrazec za polmer trikotniku očrtanega kroga
|
Vsak štirikotnik, ki mu lahko očrtamo krog, je tetiven. Zanj velja:
|
Vsak štirikotnik, ki mu lahko včrtamo krog, je tangenten. Zanj velja:
Dolžina krožnega loka
Razmerje med obsegom in premerom kroga je enako za vse kroge in to razmerje označimo z grško črko : . Iz tega lahko dobimo obseg kroga
kjer je polmer kroga.
Ker središčnemu kotu ustreza lok , središčnemu kotu ustreza lok . Poljubnemu središčnemu kotu pa ustreza dolžina krožnega loka
kjer je kot podan v stopinjah.
Kot, pri katerem je krožni lok enak polmeru, se imenuje radian. Celoten krog predstavlja radianov, obrazec za izračun dolžine krožnega loka z radiani pa je
| Stopinje | Radiani |
Zgledi
1. Koliko meri polmer trikotniku očrtanega kroga pri enakostraničnem trikotniku?
Ploščina enakostraničnega trikotnika je .
2. Če spremenimo kot v radiane, je to
Če spremenimo kot v stopinje, je to
3. Koliko meri središčni kot v stopinjah in radianih, če je dolžina pripadajočega krožnega loka in polmerom ?
Kot v stopinjah:
.
Kot v radianih:
radianov.
Ploščina kroga in krožnega izseka
Ploščina kroga je podobna ploščini n-kotnika, ki mu je očrtan krog:
|
Ploščina enega trikotnika je , kjer je stranica trikotnika, pa njegova višina. je podobna polmeru kroga , pa, če gledamo ploščino celotnega kroga, obsegu kroga. Zato je ploščina kroga podobna . Ker pa se n-kotnik vedno bolj bliža krogu, ugotovimo, da je ploščina kroga prav taka:
Krožni izsek je množica točk kroga, ki ležijo v danem središčnem kotu:
Ploščina krožnega izseka je ploščina dela krožne ploskve in je permosorazmerna s središčnim kotom. Središčnemu kotu pripada celotna ploščina kroga, , zato središčnemu kotu pripada ploščina . Poljubnemu kotu pripada ploščina izseka
| če je kot podan v stopinjah | |
| če je kot podan v radianih. |
Krožni kolobar in ploščina krožnega odseka
|
Ploščina krožnega kolobarja je ploščina med manjšim in večjim krogom, s središčem v isti točki.
, kjer je debelina kolobarja.
Krožni odsek je množica točk, ki je omejena s krožnim lokom in tetivo nad danim središčnim kotom.
Ploščina krožnega odseka je razlika med ploščino krožnega izseka in trikotnikom , zato lahko zapišemo
PREMISLITE
Kako bi izračunali ploščino krožnega odseka, če je središčni kot podan v stopinjah?
Če je središčni kot podan v stopinjah, potem je ploščina krožnega izseka . Ploščina trikotnika, ki ga tvorita tetiva in polmera nad tetivo, je . Ploščina krožnega odseka pa je ravno njuna razlika:
Zgledi
1. Polmer večjega kroga je . Ploščina kolobarja med večjim in manjšim krogom je . Koliko meri polmer manjšega kroga?
.
Ploščina manjšega kroga meri .
2. Kolikšna je ploščina pobarvanega dela trikotnika, če je kot in višina ?
| Iz slike se vidi, da je polmer kroga s središčem v enak . Izračunati je potrebno ploščino krožnega izseka: |
3. Koliko krogov iz blaga s polmerom lahko izrežemo iz kvadrata s ploščino ?
.
Ker je ploščina kvadrata , lahko izrežemo iz blaga 2 cela kroga.
