Integrali - teorija (prva različica)

Integrali - teorija (prva različica)

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Razlaga zveze med odvodom in določenim integralom funkcije, uporaba nedoločenega in določenega integrala, spoznavanje geometrijskega pomena določenega integrala, uporaba zveze med določenem in nedoločenim integralom.

Več o projektu...

Nedoločeni integral

Integriranje je obratna operacija odvajanja. Iščemo nedoločeni integral funkcije. Nedoločeni integral je vsaka funkcija, ki ima za odvod funkcijo . Primera:

  • integral funkcije je , saj je odvod ,
  • integral funkcije je , saj je odvod .

Če sta odvoda funkcij in oba enaka , kaj to pomeni za integral?

Odvod vseh funkcij oblike konstanta je enak , zato moramo pri integriranju prišteti rezultatu še konstanto.

Če je F taka funkcija, da je , potem je F nedoločeni integral funkcije f, ki pa je določen le do konstante natančno. Zapišemo:

PREMISLITE

Poznate simbole, kot so , , ?

Odgovor

Simboli integriranja

  • je integralski znak in ga uporabljamo pred funkcijo, ki jo želimo integrirati
  • je diferencial funkcije f.
  • je nedoločeni integral funkcije f.

Pravila za integriranje

Pravila za integriranje vsote funkcij, razlike funkcij in integriranje funkcije, pomnožene s konstanto:

  • Nedoločeni integral vsote je enak vsoti integralov:

  • Nedoločeni integral razlike je enak razliki integralov:

  • Nedoločeni integral produkta funkcije s številom računamo tako, da število pišemo pred integralskim znakom, funkcijo pa integriramo:

PREMISLITE

Oglejte si tabelo integralov in odvodov. Kaj opazite?

Odgovor

Zveza med integralom in odvodom

Že prej ste izvedeli, da je integriranje obratna operacija odvajanja. Naj obstajata dve funkciji, f in g, da velja . Potem je g nedoločeni integral funkcije f. Vedno lahko preverite integriranje na ta način, da dobljeni rezultat odvajate.

Tabela nedoločenih integralov in zgledi

IntegralOdvod

IntegralOdvod

Zgledi

Z upoštevanjem pravil za integriranje izračunajmo naslednje integrale:

Določeni integral

Izračunajmo ploščino krivočrtnega trapeza na sliki, ki je spodaj omejen z osjo , ob straneh s premicama in , zgoraj pa z grafom funkcije.

(doloceni_integral.png) (doloceni_integral1.png)
Najprej lik na intervalu razdelimo na manjših pravokotnikov, ki so enako široki in izračunamo vsoto ploščin pravokotnikov. Ta vsota je manjša od ploščine iskanega lika. Če so liki še ožji, se vsota ploščin pravokotnikov približa iskani ploščini lika. Tej vsoti pravimo spodnja vsota.Potem lik na intervalu razdelimo na manjših pravokotnikov, ki so enako široki, vendar je njihova dolžina daljša od višine lika. Izračunamo vsoto ploščin pravokotnikov, ki je večja od ploščine iskanega lika. Če so liki še ožji, se vsota ploščin pravokotnikov približa isani ploščini lika. Tej vsoti pravimo zgornja vsota.

Vendar pa obstaja natanko eno število, ki je večje ali enako vsaki spodnji vsoti in manjše ali enako vsaki zgornji vsoti funkcije f na danem intervalu. To število imenujemo določeni integral funkcije f na in ga zapišemo:

kjer je število spodnja meja, število pa zgornja meja.

PREMISLITE

V čem je razlika med določenim in nedoločenim integralom?

Odgovor

Razlika med določenim in nedoločenim integralom

Če izračunamo nedoločeni integral, dobimo za rezultat funkcijo. Če izračunamo določeni integral, pa dobimo za rezultat število.

Geometrijski pomen in osnovne lastnosti določenega integrala

Določeni integral nenegativne funkcije je enak ploščini lika med grafom funkcije in absisno osjo na intervalu . Če pa je funkcija na tem intervalu negativna, je določeni integral enak nasprotni vrednosti ploščine lika med grafom funkcije in abscisno osjo.

Osnovne lastnosti določenega integrala:

  • , če sta spodnja in zgornja meja enaki, je integral enak 0.
  • , konstanto lahko postavimo pred znak za integral.
  • , vsota ploščin posameznih delov lika je enaka celotni pločini.

PREMISLITE

Sta funkciji in na celotni osi pozitivni ali negativni? Kako računamo njuno ploščino?

Odgovor

Ploščina funkcij in

Funkciji in nista nenegativni na celotnem intervalu abscisne osi. Če je funkcija na intervalu, kjer jo integriramo negativna, bo rezultat negativno število. Ker to za ploščino ni možno, je rezultat absolutna vrednost. Primer:

(sinus_ploscina.png)

Ploščina funkcije na intervalu je:

Zveza med določenim in nedoločenim integralom

Osnovni izrek integralskega računa se imenuje Newton-Leibnitzova formula:

Določeni integral je razlika nedoločenih integralov na zgornji in spodnji meji.

Kako se določeni integral računa?

  • Najprej integriramo funcijo .
  • Dobimo funkcijo , ki je nedoločeni integral. Od vrednosti te funkcije na zgornji meji odštejemo vrednost na spodnji meji .

Zgled: Izračunajmo vrednost integrala .

Rešitev

Najprej integriramo funkcijo :

Dobili smo nedoločeni integral. Zdaj od vrednosti funkcije na zgornji meji odštejemo vrednost funkcije na spodnji meji:
.
Izračunamo vrednost integrala:

Zgledi



  • Rešitev



  • Rešitev



  • Rešitev



  • Rešitev

  • Določimo ploščino lika, ki ga krivulja oklepa z osjo na intervalu med ničlama krivulje.

    Rešitev

    (zgled_doloceni_integral.png)

    Najprej izračunamo ničle:




    Za ploščino izračunamo vrednost integrala:
    .

Uporaba integrala 1

1. Računanje ploščine

(uporaba_integrala1.png)

Prav tako kot računanje ploščin likov, ki jih grafi oklepajo z osjo , lahko računamo tudi ploščine likov, ki ležijo med dvema grafoma. Če sta funkciji in zvezni na intervalu in velja za vsak na intervalu , potem lahko izračunamo ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij in ter premici in :

PREMISLITE

Kako izračunamo ploščino lika med dvema krivuljama, če krivulji na intevralu nista pozitivni?

Odgovor

Ploščina lika med nepozitivnima krivuljama

Če funkciji na intervalu nista pozitivni, lahko obema prištejemo poljubno konstanto , da se grafa premakneta nad abscisno os. Kljub temu pa ploščina ostane enaka:

Zgled

Izračunajmo ploščino lika med krivuljama in na intervalu od 2 do 4.
Rešitev

Da vemo, katera krivulja je na intervalu večja, ju moramo skicirati:

(zgled_ui1.png)

Krivulja leži nad krivuljo , zato je ploščina lika:

Uporaba integrala 2

2. Prostornine vrtenin

(uporaba_integrala2.png)

Če območje, ki ga omejujeta graf funkcije in os na intevralu zavrtimo za polni krog, za okoli abscisne osi, dobimo rotacijsko telo. Njegova prostornina se izračuna z uporabo integrala:

0%
0%