Naloga
Ogledali si bomo funkcijo, ki je preslikava iz množice realnih števil v množico realna števila, s predpisom . Tako funkcijo imenujemo eksponentna funkcija. Število imenujemo osnova, pa eksponent. Naša naloga je ugotoviti:
Ukazi
Ukazi programa DERIVE, uporabljeni v nalogah:
Funkcija f(x)
Najprej si oglejmo funkcijo . Če je poljubno racionalno število vemo, kaj pomeni zapis . Dopolnite tabelo s točnimi vrednostmi v prvi vrstici in približnimi v drugi vrstici. Približne vrednosti zaokroži na pet decimalnih mest natančno, kjer je potrebno.
| točno | ali | |||||
| približno | ||||||
| točno | 1/ | 1/ | 1/ | / | / | |
| približno |
Še enkrat poskusi. Nekje si se zmotil.
| točno | 1 | 2 | 4 | 1024 | 2 ali | |
| približno | 1 | 2 | 4 | 1024 | 1,41421 | 3,17480 |
| točno | 1/ 2 | 1/ 4 | 1/ 1024 | / 2 | / 4 | |
| približno | 0,5 | 0,25 | 0,00098 | 0,70711 | 0,31498 |
Funkcija f(x)
Kaj se zgodi, če je iracionalno število? Kaj pomeni recimo ali pa ? Ker vemo, da je približno (to pa je racionalno število), izračunajte ter .
Njuna razlika (izračunajte s Simplify/Approximate)
je (Zaokrožite na 5 decimalnih mest natančno.)
Izračunajte še
Vrednost izračunana s Simplify/Approximate
je .
Še enkrat poskusi.
Njuna razlika (izračunajte s Simplify/Approximate) je
Vrednost izračunana s Simplify/Approximate
je
Funkcija f(x)
Kaj predvidevate glede obstoja števila ? Kaj pa glede števil oblike , kjer je eksponent iracionalno število?
Število obstaja in ga lahko dobimo s pomočjo racionalnih približkov eksponenta . Enako velja za poljubno drugo iracionalno število.
Število obstaja in ga lahko dobimo s pomočjo racionalnih približkov eksponenta . Enako velja za poljubno drugo iracionalno število.
Funkcija f(x)
Poskusite izračunati (uporabite Approximate).
Rezultat: .
Narišite skico grafa funkcije . Nato funkcijo narišite še s pomočjo programa DERIVE.Če se sliki razlikujeta, izračunajte vrednost funkcije v nekaj točkah, kjer ste opazili razliko. Popravite svojo skico.
Še enkrat poskusi, rezultat zaokroži na 5 decimalnih mest natančno.
Rezultat je
Pozitivna osnova
Poskusite še z , in . Najprej za posamezno funkcijo izpolnite tabelo. V tabelo zapisujte približke na dve decimalki.
Še enkrat poskusi.
| 1 | 1,32 | 1,73 | 3 | 4,72 | 9 | 5,90 | |
| 1 | 1,49 | 2,24 | 5 | 9,74 | 25 | 9,77 | |
| 1 | 1,78 | 3,16 | 10 | 25,95 | 100 |
Pozitivna osnova
Še enkrat poskusi.
| 0,76 | 0,58 | 0,33 | 0,21 | 0,11 | ||
| 0,67 | 0,45 | 0,2 | 0,10 | 0,04 | ||
| 0,56 | 0,32 | 0,1 | 0,04 | 0,01 |
Pozitivna osnova
S pomočjo tabele narišite grafe vseh treh funkcij v isti koordinatni sistem. Iste grafe narišite še s pomočjo programa DERIVE.
Razmislite, kakšen je graf funkcije in ga narišite. Spomnite se, da je . Svojo skico primerjajte z grafom, ki ga nariše program DERIVE.
Kakšen je graf z osnovo ?
Negativna osnova
Poskusimo še z negativno osnovo. Izpolnite tabelo za osnovo Pri tem pazite! Zanima nas eksponentna funkcija, ki preslikuje realna števila v realna števila. Zato povsod, kjer DERIVE kot rezultat zapiše kompleksno število, naredite le črtico "/" (ni definirano, ni realno število).
| x | |||
Še enkrat poskusi. Nekje si se zmotil.
| x | |||
| 1 | 1024 | 59049 | |
| -1 | -8 | -27 | |
| 1 | 4 | 9 | |
| -1 | -2 | -3 | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| 1 | 1 | 1 |
Negativna osnova
| x | |||
Še enkrat poskusi. Nekje si se zmotil.
| x | |||
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| -1 | -1/2 | -1/3 | |
| 1 | 1/4 | 1/9 | |
| -1 | -1/8 | -1/27 | |
| 1 | 1/16 | 1/81 | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| / | / | / | |
| / | / | / |
Negativna osnova
Kaj mislite, kakšen je graf eksponentne funkcije, če je osnova negativno število? Poskusite s programom DERIVE narisati graf eksponentne funkcije z negativno osnovo.
Ugotovitve
1. ugotovitev: Eksponentna funkcija preslika realna števila v realna, če je osnova .
Še enkrat poskusi.
Eksponentna funkcija preslika realna števila v realna, če je osnova pozitivna.
Ugotovitve
Še enkrat poskusi.
Pravilni odgovori so:
Ugotovitve
Še enkrat poskusi.
Pravilni odgovori so:
