Relativna in konformna obrestna mera se uporabljata za krajše kapitalizacijske dobe. Pogledali si bomo primerjavo med glavnicama, obrestovanima enkrat z relativno, drugič pa s konformno obrestno mero, pri stalni glavnici in pri stalni letni obrestni meri. Čas obrestovanja naj bo let.
Obravnavani problem pokažimo s pomočjo računalnika in z uporabo programa Derive. Ukaze vnašamo neposredno ali s pomočjo datoteke OBREST2.DMO
.
Relativna in konformna obrestna mera (Derive)
Relativna in konformna obrestna mera (Derive)
Aktivna matematika
Učni list na temo obrestnih mer pri bančnih kreditih s pomočjo programa Derive 6.
Uvod
Relativna obrestna mera
Pri danem kapitalizacijskem obdobju dobimo relativno obrestno mero tako, da letno obrestno mero delimo s številom, ki pove, kolikokrat je kapitalizacijsko obdobje krajše od leta dni.
Pri -kratni kapitalizaciji in relativni obrestni meri pa je obrestovalni faktor enak
Glavnica ob koncu enega leta je vredna glavnica po letih pa . Vnesemo jo z ukazom
| a(1+p/(100m))^(mn) , |
pri čemer je začetna glavnica in letna obrestna mera. Dogovorimo se za začetno glavnico EUR in za letno obrestno mero , da bo predstavitev bolj nazorna. Z ukazi Simplify/Variable Substitution
zamenjamo s , s .
| Simplify/Variable Substitution: #1 / 1000/ 4 |
Pogledali si bomo rast glavnice v letih z relativno obrestno mero za naslednja kapitalizacijska obdobja:
- eno leto,
- pol leta,
- en mesec,
- en dan.
Kapitalizacijsko obdobje enega leta
( leto).
Z ukazi Simplify/Variable Substitution zamenjamo z in z .
| Simplify/Variable Substitution/ok: #2 / 1 / 10 |
Z Approximate
poiščemo numerično vrednost izraza.
| Approximate: #3 |
Rezultat EUR nam bo orientacija za naprej.
Kapitalizacijsko obdobje pol leta
(pol leta).
| Simplify/Variable Substitution/ok: #2 / 2 / 10 |
Z Approximate
poiščemo numerično vrednost izraza.
| Approximate: #5 |
Rezultat je EUR.
Kapitalizacijsko obdobje enega meseca
( mesec).
| Simplify/Variable Substitution/ok: #2 / 12 / 10 |
Z Approximate
poiščemo numerično vrednost izraza.
| Approximate: #7 |
Rezultat je EUR.
Kapitalizacijsko obdobje en dan
( dan).
| Simplify/Variable Substitution/ok: #2 / 365 / 10 |
Z Approximate
poiščemo numerično vrednost izraza.
| Approximate: #9 |
Rezultat je EUR.
V splošnem
Očitno je, da pri pogostejših kapitalizacijah dobimo vedno večje končne vrednosti, kot pri dani letni obrestni meri z uporabo celoletne kapitalizacije. Na tem mestu se lahko še igramo z različnimi podatki, recimo
| a) | = , = | |
| ||
| ||
| Rezultat je EUR. | ||
| b) | = in = | |
| ||
| ||
| Rezultat je EUR. |
Na tem mestu se vprašajmo, kdaj bo glavnica obrestovana relativno za dosegla dvakratno vrednost glavnice obrestovano relativno za . Vnesemo enačbo:
| 1000(1+4/(100*365))^(365n)=2*1000(1+4/100)^n |
Nato jo rešimo:
| Solve/Expression/Solve: #15 |
in z
| Approximate: #16 |
izračunamo njeno številčno vrednost. Rezultat je let.
Konformna obrestna mera
Konformna obrestna mera pomeni realizacijo ekonomskega načela, da moramo iz dane začetne glavnice z novo obrestno mero pri pogostejši kapitalizaciji dobiti enako končno vrednost glavnice kot pri celoletni kapitalizaciji. Konformno obrestno mero izračunamo z obrazcem:
je število kapitalizacij v letu, pa število kapitalizacij, ki jih želimo izračunati. Glavnica raste po pravilu:
Dano pravilo vnesemo:
| a(1+p/100)^(j/m) . |
S Substitute vnesemo podatke, z Approximate pa izračunamo vrednosti za enake podatke kot pri relativni obrestni meri.
| Simplify/Variable Substitution/ok: #18 / 1000 /4 |
| Simplify/Variable Substitution/ok: #19 / 10 /1 |
| Approximate: #20 |
| Simplify/Variable Substitution/ok: #19 / 20 /2 |
| Approximate: #22 |
| Simplify/Variable Substitution/ok: #19 / 120 / 12 |
| Approximate: #24 |
Rezultat je v vseh primerih enak in sicer EUR, saj to je bistvo konformnega obrestovanja.
Graf
O različni rasti glavnice obrestovane z relativno, konformno obrestno mero se prepričamo še z grafom glavnice, obrestovane po obeh načinih, v odvisnosti od časa. Za relativno obrestovanje bomo vzeli dnevno obrestovanje ( = ). Funkciji vnesemo z izrazoma:
| 1000*(1+4/(100*365))^(n*365) |
| 1000*(1+4/(100*1))^(n*1) |
Koordinatni sistem prilagodimo, tako da prikažemo graf le v prvem kvadrantu.
Celoten izpis
Celoten izpis na zaslonu izgleda takole.
OBREST2.DMO
_________________________________________________________________
a*(1+p/(100*m))^(n*m)
;Sub(#1)
1000*(1+4/(100*m))^(n*m)
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*1))^(10*1)
;Approx(#3)
1480.24
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*2))^(10*2)
;Approx(#5)
1485.94
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*12))^(10*12)
;Approx(#7)
1490.83
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*365))^(10*365)
;Approx(#9)
1491.71
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*12))^(50*12)
;Approx(#11)
7364.56
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*1))^(50*1)
;Approx(#13)
7106.68
1000*(1+4/(365*100))^(365*n)=2*1000*(1+4/100)^n
;Solve(#15)
n=-LN(2)/(365*LN(73)-729*LN(13)+1093*LN(5)-1095*LN(3)-364*LN(2))
;Approx(#16)
n=2134.89
a*(1+p/100)^(j/m)
;Sub(#18)
1000*(1+4/100)^(j/m)
;Sub(#19)
1000*(1+4/100)^(10/1)
;Approx(#20)
1480.24
;Sub(#19)
1000*(1+4/100)^(20/2)
;Approx(#22)
1480.24
;Sub(#19)
1000*(1+4/100)^(120/12)
;Approx(#24)
1480.24
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*365))^(n*365)
;Sub(#2)
1000*(1+4/(100*1))^(n*1)
