Kritične točke in racionalne funkcije - Derive

Kritične točke in racionalne funkcije - Derive

Avtor: Aktivna matematika

Težavnost:

Učni cilji: Učni list na temo racionalnih funkcij in njihovih kritičnih točk.

Več o projektu...

Po ogledu obnašanja racionalne funcije se v naslednji šolski uri vprašamo še po primeru, ko sta ničla in pol v isti točki. Dijake motiviramo z vprašanjem, kako je z izrazom . Dijakom pokažemo obravnavani problem s pomočjo računalnika in z uporabo programa DERIVE. Ukaze vnašamo neposredno ali s pomočjo datoteke  RACF2.DMO. 

1. Najprej nastavimo natančnost izračunavanja na mest

Simplify/Approximate:= 10
Pomagaj si s sliko

2. Ogledali si bomo funkcijo . Vnesemo izraz  (x^2-x)/(x^2-3x+2)  .

Funkcija ima pri x = 1 ničlo in pol.

3. Najprej se približujemo kritični točki z leve. Z ukazi  Simplify/Variable Substitution:  v izrazu zamenjamo z

 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 / 0 
 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 /0.5 
. . .
 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 /09999995 

4.Z  Approximate  poiščemo numerično vrednost izrazov.

 Approximate: #3 
 Approximate: #4 
...
 Approximate: #9 

5. Podoben postopek naredimo še z desne. Z ukazi  Simplify/Variable Substitution:  v izrazu zamenjamo z

 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 / 1.9 
 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 /1.5 
. . .
 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 /1.0000005 

6. Z  Approximate  poiščemo numerično vrednost izrazov.

 Approximate: #17 
 Approximate: #18 
...
 Approximate: #23  

Mogoče bi pričakovali absolutno zelo velike vrednosti, vendar niso. Poskusimo še izračunati vrednost v kritični točki. Vstavimo torej vrednost :

 Simplify/Variable Substitution/ok  :#2 / 1 
 ApproXimate: #31 

DERIVE odgovori z vprašajem, zato si pomagamo z drugo potjo:

7. Razstavimo števec in imenovalec:

 Simplify/Factor: #2 

Ulomek je krajšan z , saj v funkcija ni definirana. Da dokončno razčistimo vse nejasnosti, se o tem prepričamo še z grafom funkcije :

 #2 
 Plot 
Pravilno narisan graf

Dijake opozorimo še na vrednost racionalne funkcije v , ki jo sedaj lahko izračunamo.

 Simplify/Variable Substitution/Simplify:##33 

Ukazi s pomočjo datoteke RACF2.DMO

 PrecisionDigits:=10 

 (x^2-x)/(x^2-3*x+2) 

 ;Sub(#2)
(0^2-0)/(0^2-3*0+2) 

 ;Sub(#2)
((0.5)^2-0.5)/((0.5)^2-3*(0.5)+2) 

 ;Sub(#2)
((0.95)^2-0.95)/((0.95)^2-3*(0.95)+2) 

 ;Sub(#2)
((0.995)^2-0.995)/((0.995)^2-3*(0.995)+2) 

 ;Sub(#2)
((0.9995)^2-0.9995)/((0.9995)^2-3*(0.9995)+2)
   ;Sub(#2)
((0.99995)^2-0.99995)/((0.99995)^2-3*(0.99995)+2) 

 ;Sub(#2)
((0.9999995)^2-0.9999995)/((0.9999995)^2-3*(0.9999995)+2) 

 ;Approx(#3)
0 

 ;Approx(#4)
-0.3333333333 

 ;Approx(#5)
-0.9047619047 
;Approx(#6)
-0.9900497512 
;Approx(#7)
-0.9990004997 

 ;Approx(#8)
-0.9999000074 
;Approx(#9)
-0.999997 

 ;Sub(#2)
((1.9)^2-1.9)/((1.9)^2-3*(1.9)+2) 

 ;Sub(#2)
((1.5)^2-1.5)/((1.5)^2-3*(1.5)+2) 

 ;Sub(#2)
((1.05)^2-1.05)/((1.05)^2-3*(1.05)+2) 

 ;Sub(#2)
((1.005)^2-1.005)/((1.005)^2-3*(1.005)+2) 

 ;Sub(#2)
((1.0005)^2-1.0005)/((1.0005)^2-3*(1.0005)+2) 

 ;Sub(#2)
((1.00005)^2-1.00005)/((1.00005)^2-3*(1.00005)+2) 

 ;Sub(#2)
((1.0000005)^2-1.0000005)/((1.0000005)^2-3*(1.0000005)+2) 

 ;Approx(#17)
-19 

 ;Approx(#18)
-3 

 ;Approx(#19)
-1.105263157 

 ;Approx(#20)
-1.010050251 
;Approx(#21)
-1.0010005 

 ;Approx(#22)
-1.000100007 
;Approx(#23)
-0.999997 

 ;Sub(#2)
(1^2-1)/(1^2-3*1+2)

;Approx(#31)
?

;Fctr(#2)
x/(x-2)

;Sub(#33)
1/(1-2)

;Approx(#34)
-1

x=2

y=1 

(app.PNG)

(graf.PNG)
0%
0%