Funkcija naj bo dvakrat odvedljiva na intervalu . Kdaj je funkcija konveksna oz. konkavna in kaj je prevoj?

Pri proučevanju zvez med grafom funkcije in njenim drugim odvodom si lahko pomagamo s polinomom

Graf polinoma narišemo z naslednjimi ukazi.

S pomočjo slike približno določimo intervale, na katerih je funkcija konveksna (konkavna). Posebno pozornost posvetimo lokalnim ekstremom. Zlahka pridemo do naslednjega spoznanja.

Ali smo pravilno sklepali? Naša sklepanja preverimo še na konkretnem primeru. Pri tem poudarimo, da s konkretnim primerom ne moremo nobene trditve dokazati, na tak način lahko samo ovržemo napačne sklepe.

S pomočjo programa Derive narišemo še graf drugega odvoda.

Primerjamo graf prvotne funkcije in graf drugega odvoda. Lepo se vidi, da je funkcija konveksna tam, kjer je drugi odvod pozitiven, konkavna pa tam, kjer je drugi odvod negativen. Spomnimo se, da smo isti polinom proučevali že pri določanju ekstremov funkcije. Takrat smo ugotovili, da ima funkcija v točki, kjer je prvi odvod enak , lahko lokalni minimum, lokalni maksimum ali prevoj. Kdaj je stacionarna točka lokalni minimum (maksimum) in kdaj prevoj?

Najbrž bi tu sklepali, da je v stacionarni točki prevoj, če je drugi odvod enak . Zato pa narišemo še graf funkcije , ter graf drugega odvoda. Takoj se prepričamo, da to ne drži vedno.