Uvod
Zanima nas, kako je povezana vrednost določenega integrala navedenih funkcij z vsoto ploščin trapezov, ki jih dobimo na naslednji način.
Postopek, 1. - 3. korak
| 1) | Na voljo imamo datoteko TRAPEZ.MTH , kjer so zbrane funkcije, ki jih potrebujemo za izvedbo postopkov. | ||
Datoteke naložimo kot Utility datoteko z ukazom
| |||
| Takoj nato naloži še datoteko z nastavitvami. | |||
| |||
| 2) | Te funkcije so: | ||
| |||
| funkcijo narišemo na intervalu , | |||
| |||
| funkcijo na intervalu [,] razdeli na trapezov z osnovnico , pravima kotoma ob osnovnici, levo višino enako vrednosti funkcije na začetku podintervala in desno višino enako vrednosti funkcije na koncu podintervala, | |||
| |||
| izračuna ploščine trapezov, kot jih je delil TRAPEZ . | |||
| 3) | Naložimo datoteko z nastavitvami programa Derive | ||
|
Postopek, 4. korak
| 4) | Zaporedoma vnašamo ukaze, kot so navedeni v tekstu - delamo s funkcijo na intervalu [,]. | ||
| a) | Narišemo osnovno funkcijo | ||
| |||
| |||
| |||
| b) | Narišemo delitev na trapeze (). | ||
| |||
| |||
| |||
| c) | Opazujemo, kje s trapezi naredimo "presežek" in kje "manjko". Pripravimo se za naslednji korak - | ||
| pobrišemo narisano sliko in se vrnemo v algebrsko okno: | |||
| |||
| d) | Izračunamo pravo vrednost integrala . | ||
|
| e) | Izračunamo ploščino s trapezi. |
| |||
|
Postopek, 5. in 6. korak
| 5) | Primerjamo rezultata dobljena z integracijo in s pomočjo ploščine. | |
| 6) | Ponovimo točko 4, tokrat z 20 trapezi, nato stopnjujemo z večjim številom trapezov (z več podintervali), le da izpustimo risanje (naredimo le , , ). |
Primer
Spodaj vidiš sliko funkcije skupaj s trapezi. Glede na navodila prikaži enako sliko. Na listih označi področja, ki predstavljajo napako. Posebej označi območja, kjer so trapezi "preveliki" in kjer so "premajhni". Ker želimo narisati trapeze s stranicami vred (in ne samo oglišč), potem v oknu 2-D plot window
izberemo options/display/points/connect
.
1. naloga
Ponovi postopek za naslednji določen integral.
Izpolni tabelo. Uporabi natančnost na 10 mest. V ta namen vtipkaj
| Simplify/Approximate:= 10 |
| n | TRAPEZI | NAPAKA |
| 2 | ||
| 20 | ||
| 200 | ||
| 2000 |
2. naloga
Uporabi funkcijo
na intervalu [,]. Izpolni tabelo. Kot računalo uporabi Derive.
| n | TRAPEZI | NAPAKA |
| 2 | ||
| 20 | ||
| 200 | ||
| 2000 |
3. naloga
Ponovi postopek za naslednji določen integral in izpolni tabelo.
| n | TRAPEZI | NAPAKA |
| 2 | ||
| 20 | ||
| 200 | ||
| 2000 |
4. naloga
Ponovi postopek za naslednji določen integral in izpolni tabelo.
| n | TRAPEZI | NAPAKA |
| 2 | ||
| 20 | ||
| 200 | ||
| 2000 |
5. naloga
Ponovi postopek za naslednji določen integral in izpolni tabelo.
| n | TRAPEZI | NAPAKA |
| 2 | ||
| 20 | ||
| 200 | ||
| 2000 |
TRAPEZ.MTH
; definicija trapeza s pravima kotoma ob osnovnici
; z ogliscem (p,q), osnovnico dolzine t,
; leve visine r in desne visine s predstavljenega kot
; seznama povezav
TRAP(p,q,r,s,t):=[[[p,q],[p,q+r]],[[p,q+r],[p+t,q+s]],[[p+t,q+s],[p+t,q]]]
; funkcijo narisemo le na obmocju a,b
NARISI_ME(u,a,b):=IF(x>=a AND x<=b,u,?)
; definicija trapezov podanih s funkcijskimi vrednostmi
TRAPEZI(u,a,b,n):=VECTOR(TRAP(a+j*(b a)/n,0,LIM(u,x,a+j*(b a)/n),
LIM(u,x,a+(j+1)*(b a)/n),(b a)/n),j,0,n 1)
; vsota ploscin trapezov
TRAP_VS(u,a,b,n):=(b a)/(2*n)*(LIM(u,x,a)+
2*SUM(LIM(u,x,a+(b a)*j/n),j,1,n 1)+LIM(u,x,b))
TRAPEZ.INI
*PRECISION* |Exact|
*PRECISION-DIGITS* 6
*NOTATION* |Rational|
*NOTATION-DIGITS* 6
*BRANCH* |Principal|
*EXP-EXPD* |Auto|
*LOG-EXPD* |Auto|
*TRIG-EXPD* |Auto|
*TRIG-POWER* |Auto|
*ANGLE-MODE* |Radian|
*VARIABLE-ORDER* (\x \y \z)
*DEFAULT-DOMAIN* (|Real| ((((1 INF) . -1) . T) (INF) . T))
*INPUT-BASE* 10
*OUTPUT-BASE* 10
*INPUT-MODE* |Character|
*CASE-MODE* |Insensitive|
*ARROW-KEY-MODE* |LineEdit|
*DISPLAY-FORMAT* |Normal|
*TIMES-OPERATOR* |Dot|
*MUTE* |No|
*INSERT-MODE* NIL
*AUTO-SCALE* |No|
*FOLLOW-MODE* |Yes|
*PLOT-ACCURACY* 7
*COORDINATE-SYSTEM* |Rectangular|
*PLOT-POINTS* |Connected|
*POINT-SIZE* |Large|
*ROWS/TICK* 4
*COLS/TICK* 8
*AUTO-COLOR* |No|
*AXES-COLOR* 7
*CROSS-COLOR* 15
*TOP-COLOR* 15
*BOTTOM-COLOR* 7
*XGRIDS* 10
*YGRIDS* 10
*SAVE-LENGTH* 79
*PAGE-LINES* 66
*PAGE-COLUMNS* 80
*TOP-MARGIN* 0
*BOTTOM-MARGIN* 0
*LEFT-MARGIN* 8
*RIGHT-MARGIN* 3
*PRINT-ANNOTATIONS* |Yes|
*PRINT-STYLE* |Standard|
*PRINTER-TYPE* |Plain|
*PRINT-ORIENTATION* |Portrait|
*PRINT-SIZE* |Large|
*PAPER-SIZE* |Standard|
*PRINTER-INIT* ||
*TIF-NAME* |Derive|
*PRINT-BACKGROUND* |White|
*PRINT-DEVICE* PRN
*PCL-SMALL-FONT* | (10U (s0p16.6h8.5v0s0b0T &l4.8C *p0x0Y|
*PCL-LARGE-FONT* | (10U (s0p10h12v0s0b3T &l8D *p0x0Y|
*VIDEO-MODE* 18
*PREVIOUS-MODE* 3
*CHARACTER-SET* |Extended|
*PREVIOUS-SET* |Extended|
*FRAME-COLOR* 5
*OPTION-COLOR* 3
*PROMPT-COLOR* 2
*STATUS-COLOR* 7
*MENU-BACKGROUND* 0
*BORDER-COLOR* 0
*WORK-COLOR* 15
*WORK-BACKGROUND* 0
