Uvod
Zapomnimo si:
| Vsota | je vrsta. |
Te zanima, kdaj lahko tako vrsto izračunamo? Kaj pomeni sešteti neskončno členov? Poglej si kaj je delna vsota, nato pazljivo preglej primer ter reši nalogo.
| je delna vsota. |
Delno vsoto (vsoto členov) danega zaporedja in števila členov, vedno lahko (včasih res malo težje) izračunamo. Pa si zato pomagajmo z njo.
Primer
| Proučimo konvergentnost vrste | Delna vsota te vrste je |
S pomočjo programa Derive jo lahko izračunamo:
| 1/(k(k+1)) |
| Calculus/Sum |
| Simplify |
Izračunajmo nekaj delnih vsot ...
| Simplify/Variable Substitution |
| Simplify |
Primer
Opazimo, da se zaporedje delnih vsot približuje vrednosti . Čim večji je , tem manj se delna vsota razlikuje od . Izračunajmo limito delnih vsot.
| Calculus/Limit |
| Simplify |
Zaporedje delnih vsot torej konvergira. Zato konvergira tudi vrsta. Limita delnih vsot je vsota vrste. Torej velja:
Geometrijska vrsta
| Poglejmo si geometrijsko vrsto |
| Delna vsota te vrste je | S pomočjo programa Derive jo lahko izračunamo. |
| (1/2)^(k-1) |
| Calculus/Sum |
| Simplify |
Izračunajmo nekaj delnih vsot ...
| Simplify/Variable Substitution |
| Simplify |
Geometrijska vrsta
Ali lahko sklepamo, da je zaporedje delnih vsot konvergentno? Izračunajmo limito zaporedja delnih vsot:
| Calculus/Limit |
| Simplify |
Kaj odloča o konvergentnosti geometrijske vrste (podane s prvim členom zaporedja ter količnikom tega geometrijskega zaporedja)? S pomočjo programa DERIVE se lahko še malo poigramo:
Za vsak primer izračunajmo nekaj delnih vsot in ugotovimo, kako je s konvergenco zaporedja delnih vsot. Dokaz, kdaj je geometrijska vrsta konvergentna, pa naredimo na "klasičen" način.
Naloge
Preuči konvergentnost naslednji vrst. S pomočjo postopka izpolni tabelo.
| VRSTA | VNOS ZA DERIVE | SPLOŠNI ČLEN | DELNA VSOTA | DELNA VSOTA JE | ||||||
| ||||||||||
| 1) | Vnos delne vsote. | |
| ||
| 2) | Izračunaj nekaj delnih vsot (...). | |
| ||
| ||
| 3) | Poskusi ugotoviti, kaj se zgodi s členi zaporedja v vrsti, kaj z delnimi vsotami. | |
| Kaj, če število členov v delni vsoti še povečaš? | ||
| 4) | Izračunaj limito delnih vsot. | |
| ||
| ||
| 5) | Kaj lahko poveš o vrsti? |
