Ponovitev
Sedaj že poznamo pravila za odvode naslednjih funkcij.
| FUNKCIJA | ODVOD |
Poznamo tudi pojem kompozituma dveh funkcij. Vemo, da:
Če npr. naredimo kompozitum funkcije in , dobimo . Seveda bi lahko vlogo funkcij obrnili in dobili .
Ogledali si bomo, kako odvajamo funkcije oblike . Pri tem bomo uporabljali program Derive in spodaj opisani postopek.
Postopek
| 1) | Vnesi izraz, kot je naveden v prvem in tretjem stolpcu. | |
| ||
| 2) | Poišči odvod te funkcije. | |
| ||
|
Kompozitum
Najprej bomo funkcije komponirali s funkcijo sinus, s tem, da bo sinus "zunanja" funkcija. Vse funkcije bodo torej oblike .
| 1) | Če je , je |
| 2) | Poveži funkcije v levem stolpcu z njihovimi odvodi v desnem stolpcu. Pomagaj si s programom Derive. |
Ali bi znal napisati splošen obrazec za odvod funkcije ?
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
Če je , je
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Kompozitum
Sedaj bomo funkcije komponirali s funkcijo cosinus, s tem, da bo cosinus "zunanja" funkcija. Vse funkcije bodo torej oblike .
| 1) | Če je , je |
| 2) | Poveži funkcije v levem stolpcu z njihovimi odvodi v desnem stolpcu. |
| Ker je primer zelo podoben prejšnjemu, izpolni tabelo brez uporabe programa Derive in si z računalnikom pomagaj le pri preverjanju rezultatov. | |
Ali bi znal napisati splošen obrazec za odvod funkcije ?
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
Če je , je
=
= -
=
= -
=
= -
=
= -
=
= -
=
= -
Kompozitum
Sedaj bomo funkcije komponirali s funkcijo , s tem, da bo "zunanja" funkcija. Vse funkcije bodo torej oblike . Pri tej funkciji nastopijo določene tehnične težave. Če nismo dovolj pozorni, spregledamo, da nam Derive ponudi odvajanje po ali po .
| 1) | Če je , je |
| 2) | Poveži funkcije v levem stolpcu z njihovimi odvodi v desnem stolpcu. |
| Ker je primer zelo podoben prejšnjima, izpolni tabelo brez uporabe programa Derive in si z računalnikom pomagaj le pri preverjanju rezultatov. | |
Preveri
Vidimo, da je splošen obrazec za odvod
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
| 1) | Če je , je |
| 2) | = |
| = | |
| = | |
| = | |
| = | |
| = | |
| = - | |
| = - | |
| = | |
| = |
Kompozitum
| 1) | Spomnimo se, odvod funkcije je |
| 2) | Kaj pa, če funkcije kvadriramo (torej komponiramo s kvadratno funkcijo)? |
| Tokrat so oblike . Poišči odvode tako zgrajenih kompozitumov. Poskusi vnaprej "napovedati", kakšen bo odvod posameznega kompozituma in šele potem svoj rezultat preveri s programom Derive. | |
Vidimo, da je splošen obrazec za odvod
Odlično! Vsi odgovori so pravilni.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
REŠITEV
| 1) | Odvod funkcije je |
| 2) | = |
| = | |
| = | |
| = | |
| = | |
| = | |
| = - | |
| = - | |
| = | |
| = ?] |
Vidimo, da je splošen obrazec za odvod
| ?] |
Pravilo za odvod kompozituma dveh funkcij
Glede na ugotovitve prejšnjih štirih nalog poskusi poiskati splošno pravilo za odvod kompozituma dveh funkcij .
| 1) | Zapiši pravilo z besedami. | |
| 2) | Zapiši pravilo še simbolično. |
Naloga
S pomočjo poiskanega pravila izračunajte naslednje odvode "peš" in jih nato preverite s pomočjo programa Derive.
| "NAPOVED" | "DERIVE" | |
Morda se rezultati, ki jih dobiš, ne bodo povsem ujemali s tistimi, ki jih bo izračunal program. Takrat poskusi pokazati, da sta rezultata enaka, tako da svoj rezultat vneseš v program in ga poenostaviš.
Pravilo za odvod kompozituma treh funkcij
Sedaj poskusi še z malo bolj zapletenimi izrazi, ko komponiramo tri funkcije. Kakšno bo pravilo za odvod kompozituma treh funkcij ? Pomagaj si tako, da si misliš kot , kjer je .
| 1) | Zapiši pravilo z besedami. | |
| 2) | Zapiši pravilo še simbolično. |
Naloga
S pomočjo poiskanega pravila izračunajte naslednje odvode "peš" in jih nato preverite s pomočjo programa Derive.
| "NAPOVED" | "DERIVE" | |
Morda se rezultati, ki jih dobiš, ne bodo povsem ujemali s tistimi, ki jih bo izračunal program. Takrat poskusi pokazati, da sta rezultata enaka, tako da svoj rezultat vneseš v program in ga poenostaviš.
