Konjungiranje in |z|

Konjungiranje in |z|

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Učni cilji: Raziskovali bomo nekatere lastnosti kompleksnih števil: posebnosti potenc števila i, novo operacijo konjugiranja, ki jo lahko lepo predstavimo z zrcaljenjem v kompleksni ravnini, in pa absolutno vrednost kompleksnega števila.

Več o projektu...

Premisli o lastnostih množenja

Nazadnje smo spoznali množenje na množici kompleksnih števil; poglejmo si ga na primeru:

Pri tem smo uporabili lastnost . Za domačo nalogo si lahko tudi pokazal, da za seštevanje in množenje veljajo zakon o zamenjavi (komutativnost), zakon o združevanju (asociativnost) ter zakon o razčlenjevanju in izpostavljanju (distributivnost). Povedali smo tudi, da je nasprotno število kompleksnega števila oblike : nasprotno število števila je torej . 1. Ali se spomniš kakšnega kompleksnega števila , ki pri seštevanju ne vpliva na vsoto (torej nič ne spremeni)?

Takšno število je = in mu v matematiki rečemo nevtralni absolutni obratni nasprotni element za seštevanje. Zanj namreč velja:

())).

2. Ali se spomniš kakšnega kompleksnega števila , ki pri množenju ne vpliva na produkt (torej nič ne spremeni)?

To je število =+ in rečemo mu nevtralni absolutni obratni nasprotni element za množenje.

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Ker nevtralnega števila pri množenju ne moremo več določiti tako zlahka kot pri seštevanju, poglejmo naslednji krajši premislek. Vemo, da je nevtralni element za množenje pri realnih številih število . To število lahko zapišemo kot . Ob tem se nam utrne vprašanje, ali ni število morda tudi nevtralni element za množenje na kompleksnih številih. Preizkusimo svojo hipotezo:

Res je.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Kompleksno število , ki pri seštevanju ne vpliva na vsoto (torej nič ne spremeni) je in mu v matematiki rečemo nevtralni element za seštevanje. Zanj namreč velja:

Kompleksno število , ki pri množenju ne vpliva na produkt (torej nič ne spremeni) je in rečemo mu nevtralni element za množenje.

Ker tega števila pri množenju ne moremo več določiti tako zlahka kot pri seštevanju, poglejmo naslednji krajši premislek.

Vemo, da je nevtralni element za množenje pri realnih številih število . To število lahko zapišemo kot . Ob tem se nam utrne vprašanje, ali ni število morda tudi nevtralni element za množenje na kompleksnih številih. Preizkusimo svojo hipotezo:

Potence števila i

Število zavzema med vsemi števili, ki smo jih na novo spoznali, posebno mesto: poleg njegove navzočnosti v mnogih matematičnih vsebinah in zanimivih formulah je to tisto število, ki nam je odprlo vrata v svet kompleksnih števil. Pri računanju s kompleksnimi števili bomo večkrat naleteli na izziv izračunati potenco , kjer je naravno (ali pa celo) število. Tokrat si bomo ogledali potence števila z naravnim eksponentom, potence števila s celim eksponentom pa se bomo naučili računati kar spotoma takrat, ko bomo spoznali še obratno vrednost kompleksnega števila.

Razišči Poišči pravilo za računanje potenc števila z naravnim eksponentom. Po vrsti izračunaj potence .

Namig
Preveri

Pravilno

Pravilno si povezal izraze, ki so enaki.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Mogoče je, da so nekateri izmed tvojih ujemanj pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

  • Rešitev:
  • ali pa

Potence števila i

Kaj opaziš? Ali lahko na podlagi tega oblikuješ pravilo za računanje potenc števila ? Zapiši ga.

Potence števila so , , , , ki se periodično ponavljajo. Opazimo:

Povejmo to še z besedami: pri računanju poljubne potence lahko enačimo to potenco s potenco, katere eksponent je enak ostanku pri deljenju števila s ; ker so ostanki pri deljenju s le , , ali , si moramo tako zapomniti le potence

Preveri

Ugotovitev iz zgornje preiskave še enkrat povzemimo, da si jo bomo bolje zapomnili.

 

Pri računanju potenc , kjer je naravno število oblike ( je naravno število, je ali ), velja:

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

  • Rešitev: Pri računanju poljubne potence lahko enačimo to potenco s potenco, katere eksponent je enak ostanku pri deljenju števila s ; ker so ostanki pri deljenju s le , , ali , si moramo tako zapomniti le potence , , in .

Ponovimo kriterij deljivosti naravnega števila s številom 4

Zapiši kriterij deljivosti naravnega števila s številom .

Naravno število je deljivo s , če je dvomestno število na mestu njegovih desetic in enic deljivo s , npr.:

je deljivo ni deljivo s ,

je deljivo ni deljivo s .

Izziv: ponovi izpeljavo kriterija deljivosti s .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

  • je deljivos , ker je deljivo s ,
  • ni deljivo s , ker ni deljivo s .

Namig

je (kot je običajno že pri realnih številih) enako . Ne pozabi: ni naravno število.

Nalogi

Pri naslednjih nalogah uporabi pravkar odkrito pravilo.

1. Izračunaj vrednost izraza.

+

2. Izračunaj vrednost izraza.

+

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Tovrstne naloge lahko rešujemo na več načinov, tokrat pa nas bo zanimal čimspretnejši pristop (hitro računanje).

Potenco z lihim eksponentom preoblikujmo v produkt potence s sodim eksponentom in potence z eksponentom (pri potencah s sodim eksponentom ta korak seveda odpade):

Potenco s sodim eksponentom preoblikujmo posebej po pravilu za računanje s potencami v :

Sedaj hitro izračunamo .

Postopek računanja našega izraza je torej:

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Tovrstne naloge lahko rešujemo na več načinov, tokrat pa nas bo zanimal čimspretnejši pristop (hitro računanje).

Potenco z lihim eksponentom preoblikujmo v produkt potence s sodim eksponentom in potence z eksponentom (pri potencah s sodim eksponentom ta korak seveda odpade):

Potenco s sodim eksponentom preoblikujmo posebej po pravilu za računanje s potencami v :

Sedaj hitro izračunamo .

Postopek računanja našega izraza je torej:

Konjugiranje

 

Na množici kompleksnih števil vpeljemo novo računsko operacijo konjugiranje, ki poljubnemu kompleksnemu številu priredi konjugirano število

Konjugirano število števila označimo (črka s prečno črto) in od števila se razlikuje v predznaku imaginarne komponente. (Včasih konjugiranje označimo tudi z zvezdico: .)

Geometrijska ponazoritev konjugiranja

Konjugiranje spremeni predznak imaginarni komponenti, kar lahko z urejenim parom zapišemo kot:

Kakšen geometrijski pomen ima torej konjugiranje? Pri iskanju odgovora si pomagaj s premikanjem točke z na spodnji konstrukciji.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka
Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Lastnosti konjugiranja

 

Naj bosta in kompleksni števili. Tedaj velja:

1.

2.

3.

4.

5. ,

6. za .

Vsako izmed zgornjih lastnosti dokaži. Poskusi z reševanjem na list, če ne bo šlo si preberi rešitve pod spodnjimi gumbki.

Dokaz 1. lastnosti
Dokaz 2. lastnosti
Dokaz 3. lastnosti
Dokaz 4. lastnosti
Dokaz 5. lastnosti
Dokaz 6. lastnosti

saj je za realno število vedno , poleg tega pa je v našem primeru vsaj eden od , neničeln.

Rešitve kvadratne enačbe

Razišči, v kakšni zvezi sta kompleksni rešitvi kvadratne enačbe. Posebej reši enačbo

Najprej rešimo enačbo :

+ , + .

Opazimo, da je ena kompleksna rešitev nasprotna negativna absolutna konjugirana vrednost druge. Pri kvadratni enačbi z realnimi koeficienti kompleksni rešitvi vedno nastopata v nasprotnem negativnem absolutnem konjugiranem paru.

PreveriSplošen dokaz te ugotovitve

S pomočjo zgornje ugotovitve lahko sedaj povzamemo najsplošnejši opis rešitev kvadratne enačbe.

 

Naj bo kvadratna enačba z realnimi koeficienti in Tedaj za njeni rešitvi in velja:

1. če je , sta in dve različni realni števili, ki ju izračunamo kot

2. če je , je ena dvojna (dvakratna) realna rešitev, ki jo izračunamo kot

3. če je , sta in dve konjugirani kompleksni rešitvi, ki ju imenujemo tudi konjugirani par ali konjugiranki in ju izračunamo kot

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Opazimo, da je ena kompleksna rešitev konjugirana vrednost druge. Pri kvadratni enačbi z realnimi koeficienti kompleksni rešitvi vedno nastopata v konjugiranem paru.

Splošen dokaz te ugotovitve je naslednji: naj bodo , in taka realna števila, da je ; potem lahko pišemo:

iz česar očitno sledi, da je

Absolutna vrednost kompleksnega števila

Spomnimo se, da smo poljubno kompleksno število v kompleksni ravnini ponazorili tudi z njenim krajevnim vektorjem.

(Absolutna vrednost 1.png)

Pri realnih številih smo z označevali absolutno vrednost realnega števila , ki nam je povedala, kako daleč od izhodišča na številski premici je število . Podobno bo pri kompleksnih številih. Zato je absolutno vrednost kompleksnega števila smiselno opredeliti kot dolžino krajevnega vektorja, ki predstavlja število , označimo pa jo z zapisom . Pri tem vidimo, da lahko njegovo dolžino izračunamo po Pitagorovem izreku s pomočjo realne in imaginarne komponente števila .

(Absolutna vrednost 2.png)

V dokazu točke pri lastnostih konjugiranja smo tudi pokazali, da je

torej lahko pišemo

Vse naše ugotovitve lahko strnemo.

 

Absolutna vrednost kompleksnega števila nam pove oddaljenost števila od koordinatnega izhodišča v kompleksni ravnini.

Absolutno vrednost kompleksnega števila z=a+ib izračunamo kot

Zgled

Naloga: Izračunaj absolutno vrednost kompleksnega števila .

Rešitev:

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Ob tem je dobro opozoriti na "klasično" napako, ki jo naredijo nekateri učenci: imaginarna komponenta števila ni , ampak . Kaj se zgodi v primeru napačnega razumevanja:

kar je seveda nesmiseln rezultat, saj je dolžina vedno nenegativno realno število.

Lastnosti absolutne vrednosti

Naj bosta in kompleksni števili. Tedaj velja:

1. in
2.
3.
4.
5. Dokaze in primere uporabe posameznih lastnosti si bomo prihranili za dodatne naloge.

Primer uporabe absolutne vrednosti

Če sta in kompleksni števili, potem nam označuje razdaljo med številoma in v kompleksni ravnini, kar takoj vidimo s slike, ki nam prikazuje geometrijski pomen razlike kompleksnih števil.

(Razlika vektorjev.png)

Premisli

Naj bo sedaj neko fiksno kompleksno število, pozitivno realno število. Opazujmo množice vseh točk z v kompleksni ravnini, za katere velja:

1.

2.

3.

4.

Kakšen geometrijski pomen ima vsaka od teh množic?

Če znamo zapis pravilno prebrati, znamo tudi odgovoriti na vprašanje. V 1. primeru se sprašujemo o geometrijskem pomenu točk , ki so za oddaljene od vnaprej izbrane fiksne točke : brez globokega znanja iz geometrije se spomnimo, da točke s takšno lastnostjo predstavljajo krog s središčem v in polmerom . notranjost kroga s središčem v in polmerom . zunanjost kroga s središčem v in polmerom . krožnico s središčem v in polmerom . V 2. primeru je množica točk krog s središčem v in polmerom , notranjost kroga s središčem v in polmerom , zunanjost kroga s središčem v in polmerom , krožnico s središčem v in polmerom , v 3. primeru krog s središčem v in polmerom , notranjost kroga s središčem v in polmerom , zunanjost kroga s središčem v in polmerom , krožnico s središčem v in polmerom , v 4. primeru pa krog s središčem v in polmerom . notranjost kroga s središčem v in polmerom . zunanjost kroga s središčem v in polmerom . krožnico s središčem v in polmerom .

Preveri
Analitični dokaz - zahtevnejše

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Če znamo zapis pravilno prebrati, znamo tudi odgovoriti na vprašanje. V 1. primeru se sprašujemo o geometrijskem pomenu točk , ki so za oddaljene od vnaprej izbrane fiksne točke : brez globokega znanja iz geometrije se spomnimo, da točke s takšno lastnostjo predstavljajo krožnico s središčem v in polmerom . V 2. primeru je množica točk krog, v 3. primeru notranjost kroga, v 4. primeru pa zunanjost kroga.

Zgled

Naloga: Nariši množico točk .

Rešitev:

To je krog s središčem v točki notranjost kroga s središčem v točki zunanjost kroga s središčem v točki krožnica s središčem v točki + (pazi, kako jo odčitaš iz enačbe!) in radijem .

Njegova slika pa je:

Pravilno narisana množica točk
Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

To je notranjost kroga s središčem v točki (pazi, kako jo odčitaš iz enačbe!) in radijem .

Poleg geometrijske ponazoritve pomena enačbe lahko še analitično izpeljemo enačbo krožnice: naj bo in . Potem lahko naš zapis preoblikujemo:

Zadnji zapis pa nam predstavlja enačbo krožnice s središčem v točki in polmerom , kar bomo spoznali v poglavju o stožnicah.

(Notranjost kroga.png)

Naloga 1

Izračunaj .

(Ulomek zapiši kot npr. .

Rešitev je: +.

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Naloga 2

Izračunaj vrednost izraza

Namig
Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Uporabi formulo za razliko -tih potenc:

Naloga 3

Zapiši kvadratno enačbo z realnimi koeficienti in vodilnim koeficientom , če je ena njena rešitev .

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Ker kompleksne rešitve kvadratne enačbe z realnimi koeficienti nastopajo v kon- jugiranih parih, je druga rešitev , od koder dobimo enačbo

Naloga 4

V kompleksni ravnini nariši množico točk

(Ulomek zapiši kot npr. .

Rešitev:

To je krog s središčem v točki notranjost kroga s središčem v točki zunanjost kroga s središčem v točki krožnica s središčem v točki + in radijem .

Njegova slika pa je:

Pravilno narisana množica točk
Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

To je notranjost kroga s središčem v točki in radijem .

(graf1.PNG)

Naloga 5

Dokaži naslednje lastnosti absolutne vrednosti (pri tem sta in kompleksni števili):

a) in

b)

c)

d)

e)

Poskusi z reševanjem na list, če ne bo šlo si preberi rešitve pod spodnjimi gumbki.

Dokaz lastnosti a
Dokaz lastnosti b
Dokaz lastnosti c
Dokaz lastnosti d in e

in ; dokaz z desne v levo stran je očiten, zato dokažimo le implikacijo v desno stran: in

, po drugi strani je in obakrat dobimo enak izraz.

in

Zadnji dve lastnosti sledita neposredno iz uporabe trikotniške neenakosti v trikotniku (vsota dolžin poljubnih dveh stranic je vedno večja od dolžine tretje stranice), kar je vidno s spodnje slike, kjer števila in predstavimo v kompleksni ravnini; pri tem zadnja neenakost sledi iz dveh trikotniških neenakosti: in in obe skupaj nam data zadnjo neenakost.

(graf2.PNG)

Rezultati

0%
0%