Svet, v katerem živimo, vsak vidi s svojimi očmi, vsak ga občuti drugače. Optimisti zrejo vanj skozi rožnata očala, vse vidijo v dobri luči. Pesimisti v vsem vidijo le slabo, nekateri pa v vsaki stvari najdejo obe plati– dobro in slabo. Vendar se kljub različnim pogledom nekako sporazumevamo, drug drugemu govorimo o svojih občutkih in opažanjih. Tudi matematiki opazujejo svet in se sprašujejo, kaj vidijo. Toda v matematiki osebni pogledi in individualna občutenja nimajo pomena. Matematiko zanimajo najgloblje logične resnice, ki so v ozadju vsakega pojava.

Aristotel

Eratosten

Hipparchus

Prve civilizacije, v še večji meri pa antični Grki so postavili matematične temelje. Nekatere stvari danes kar privzamemo, včasih pa zanje niso vedeli in so jih morali še poiskati. Na primer števila. Živimo v informacijski dobi, števila so povsod okoli nas in se nam zdijo sama po sebi umevna. V antičnih časih je bilo vse drugače, takrat so morali število še iznajti. Preskok od dveh jabolk ali dveh ladij ali dveh ... do števila dve, ki predstavlja dve enoti nečesa, ni enostaven. Oglejmo si nekaj primerov iz antične Grčije, ki lepo prikazujejo, kako pridemo z opazovanjem in pametnim sklepanjem do matematičnih resnic.

Aristotel je v 4. stoletju pr. n. št. dokazal, da je Zemlja okrogla. Opazil je, da ladje, ki zapuščajo pristanišče, počasi izginevajo za obzorjem in da na potovanju na jug postanejo vidne tudi zvezde, ki jih na severu ni videti. In kot tretji argument je opazil, da je ob Luninem mrku na Luni jasno vidna okrogla senca Zemlje.

Popoln Lunin mrk 3. marca 2007, vir: Wikipedia

Eratosten je v 3. stoletju pr. n. št. dobil čudovito idejo, kako bi izračunal obseg Zemlje. V Syeni so imeli zanimiv globok vodnjak, v katerem je sonce ob poldnevu najdaljšega dne obsijalo samo dno vodnjaka. V tem času tudi palica ni imela sence. To opažanje je Eratostena spodbudilo, da je s palico ob popolnoma istem času izmeril kot med navpičnico in sončnimi žarki v Aleksandriji. Kot je meril . Vedel je, da leži Aleksandrija (mesto na severu Egipta) na istem poldnevniku kot Syena (približno 800 km severneje). Z enostavnim računom je nato ocenil, da je obseg Zemlje 41 000 km, kar je neverjetno natančen rezultat, saj je danes znan obseg približno 40 100 km.

S podobnim razmišljanjem je Hipparchus približno 150 let pr. n. št. ugotovil, da je razdalja do Lune približno 60-krat večja od polmera Zemlje. Ti rezultati so izjemno natančni, približno taki, kot da bi se pri oceni dolžine avtomobila zmotili za kak centimeter.

Za matematiko je najpomembnejše, da je vselej mogoče točno razumeti, o čem govorimo, zato se je razvil posebno natančen jezik. Matematika pripoveduje svojo zgodbo skozi definicije, aksiome, izreke in dokaze.

V vsakdanjem življenju pomen izrazov določa življenje samo. Vsi na primer vemo, kaj pomeni beseda mama oziroma včasih s tem ni bilo težav. Danes namreč lahko beseda mama različnim ljudem pomeni različne stvari. Nekateri svojo mamo kličejo mami, babico pa mama. V posebnih primerih imajo nekateri ob besedi mama v mislih krušno mamo, drugi pa biološko. Ob hitrem napredku medicine bi bilo treba natančneje povedati, kaj pomeni biološka mama. Katera ženska je biološka mama otroku, ki ga je rodila neka ženska iz umetno oplojenega jajčeca druge ženske? Tako vidimo, da se moramo pri natančnem (medicinskem) govorjenju o materi najprej dogovoriti, kaj mati sploh pomeni. Ta dogovor bi bil (medicinska in natančna) definicija besede mama.

V znanosti moramo natančno povedati (definirati) pomen mnogih pojmov. Pri matematiki poznamo mnogo definicij, od enostavnejših, kot je definicija premice ali kroga, do zapletenejših, kot je definicija deltoida ali iracionalnega števila.

Lahko bi rekli tudi, da je aksiom resnica, ki je ne dokazujemo, ampak verjamemo, da je pravilna. Primer takega aksioma v matematiki je dejstvo, da je skozi dve točki na ravni podlagi mogoče potegniti ravno črto.

Najbolj znan je verjetno Pitagorov izrek: v pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet. Ta izrek so Babilonci poznali že več tisoč let pred Pitagoro, vendar ga je Pitagora prvi dokazal.

Oglejmo si enega od dokazov Pitagorovega izreka. Narišimo poljuben pravokotni trikotnik in ga označimo s standardnimi oznakami.

Vsota notranjih kotov v trikotniku je $180°$, zato je

Na desni sliki je narisana višina na hipotenuzo. Pri opazovanju kotov v trikotnikih $ADC$ in $DBC$ s podobnim razmišljanjem ugotovimo, da višina na hipotenuzo pravi kot ob oglišču $C$ razdeli na $\alpha$ in $\beta$, kot je označeno na sliki. Trikotniki $ABC$, $ADC$ in $DBC$ imajo torej enake notranje kote, kar pomeni, da so si podobni:

Vemo, da je razmerje med istoležnimi stranicami v podobnih trikotnikih enako. Iz $\bigtriangleup ACD \sim \bigtriangleup ABC$ dobimo:

iz $\bigtriangleup CBD \sim \bigtriangleup ABC$ pa:

Če dobljena izraza seštejemo, dobimo:

oziroma

kot smo želeli.

Za konec lahko Pitagorov izrek preverimo še na malo drugačen način. Na spodnji sliki lahko premikaš točke $A$, $B$ in $C$, ki so oglišča pravokotnega trikotnika. Pravi kot je kot običajno pri oglišču $C$. Sproti se izpisuje, koliko je $c^2$ in koliko je $a^2 + b^2$. Ali je vedno enako?

$c^2$ je seveda vedno enako kot $a^2 + b^2$, saj smo izrek že dokazali.

Danes razumemo veliko pojavov. Z računalniki in vso matematično teorijo smo v veliki prednosti pred antičnimi Grki ... Z matematiko lahko razložimo skoraj vse, od naravnih pojavov pa vse do glasbe in še česa. O tem bomo še govorili.

Zapiši, kaj je v matematiki dana poved − definicija, aksiom ali izrek.

a) Če tri različne točke ležijo na isti premici, ena vedno leži med drugima dvema.

Aksiom. Definicija. Izrek.

b) Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke.

Aksiom. Definicija. Izrek.

c) Točke, ki ležijo na isti premici, so kolinearne.

Aksiom. Definicija. Izrek.

d) Vsota notranjih kotov trikotnika je 180°.

Aksiom. Definicija. Izrek.

S pomočjo spodnje slike poskusi dokazati, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180°.

Poskusi dokazati, da je kvadrat lihega števila liho število.