Naše okolje je sestavljeno iz množice geometrijskih oblik in elementov, ki nam lajšajo življenje, nam pomagajo in nas včasih tudi zabavajo. V njihovih povezavah pa se skrivajo osnovne geometrijske zakonitosti, ki jih proučujemo v geometriji.

Igra tetris

Spirala, kot jo najdemo v naravi

Bogat nabor geometrijskih oblik

Izzivi arhitekta Hundertwasserja

Vse te in še druge čudovite stvaritve lahko "razstavimo" na osnovne geometrijske oblike, ki nas pripeljejo do osnovnih geometrijskih pojmov. Na sliki premikaj rokco in izveš, kateri so in kako se imenujejo čisto osnovni geometrijski pojmi.

Za lažjo predstavo o geometrijskih pojmih uporabljamo modele. Če se ozremo v nočno nebo, vidimo v zvezdah modele za točke, kar je že od nekdaj astronome spodbujalo, da so sicer neurejeno razmetane zvezde povezovali v ozvezdja in jih tudi poimenovali. Na prvi pogled se zdi, da so vse zvezde na eni plošči (ravnini), ko pa opazujemo zvezde bolj pozorno, v jasnem nočnem nebu lahko opazimo, da so zelo različno oddaljene od nas. Tako si lahko predstavljamo tudi globino in zaslutimo, da so ravnine zvezd zelo različne.

Človeška domišljija pa je včasih bila še bolj ustvarjalna, kot je danes. Zato je ob pogledu na ta mogočno obok nočnega neba ustvarila tudi domišljijska znamenja na nebu, ki so dobila večji pomen, kot si ga zaslužijo, z njihovo pomočjo nekateri celo napovedujejo usodo.

V animaciji je prikazana je tudi možnost uvedbe posebnega koordinatnega sistema, s katerim opisujemo položaje zvezd. Podobno opišemo tudi površino Zemlje z geografsko širino in geografsko dolžino.

Očitna dejstva (resnice), ki jih v njihovi preprostosti in neposrednosti brez težav uvidimo, imenujemo aksiomi. Z njimi v matematiki gradimo teorije. V geometriji je takšno preprosto dejstvo izjava:

Rečemo lahko tudi, da premica $p$ poteka skozi točki $A$ in $B$. Ta premica je tudi vsebovana v ravnini $Σ$, v kateri ležita točki $A$ in $B$. Gotovo si opazil, da smo točkama, premici in ravnini dali preprosta imena. To je koristno, saj se tako nanje enostavno sklicujemo, ko jih povezujemo med seboj.

Tukaj imamo še en model, program, ki pozna geometrijske pojme in jih prikazuje na aktivni risalni površini. Geometrijske elemente vnašamo z ukazi na dnu okvirja v obliki:

Poskusi z vnosom spodnjih ukazov. Imena elementov morajo biti seveda različna, saj le tako dobimo nove objekte, na katere se z novimi ukazi sklicujemo.

Ukazi:

Skozi dve različni točki poteka natanko ena premica. V zgornjem programu so to vse premice, ki smo jih vnesli kot premice z ukazom.

Kateri premici na zgornji konstrukciji sta vzporednici? $q$ je vzporedna s in $s$ je vzporedna z .

Za nadaljnje delo bomo potrebovali razdaljo v ravnini. Za zastiranje oken uporabljamo zavese. Zavese obesimo na posebna vodila, ali tudi palico, karniso. Če želimo kupiti karniso za naše okno, moramo najprej izmeriti njeno dolžino (pravzaprav širino okna). Pri nas bomo v trgovini naročili $3,2$ m, v Angliji pa najbrž $1,26$ inča dolgo karniso.

Merjenje je torej primerjanje merjene razdalje (ravne povezave med dvema točkama v prostoru) z izbrano mersko enoto. Kot vemo iz vsakdanjega življenja in iz osnovne šole, je to m (meter), ki ga razdelimo na deset enakih manjših enot dm (decimeter), tega zopet na deset manjših enot cm (centimeter) in tega še naprej na mm (milimeter). Za večje razdalje pa $1000$ m izberemo kot novo enoto km (kilometer).

Za merjenje atomskih dimenzij uporabljamo tudi druge enote nm (nanometer), za vesoljske razdalje pa svetlobna leta.

Poljubnima točkama $A$ in $B$ v ravnini torej lahko vedno priredimo natanko določeno pozitivno realno število, razdaljo med njima. To ponavadi označimo kot $d(A,B)$.

Očitna so tudi naslednja dejstva:

Za katerokoli točko $C$ daljice $AB$ velja $d(A,B) = d(A,C)+d(C,B)$.

Če sta točki $A$ in $B$ na številski premici, vsaki od njiju pripada realno število, ki je slika realnega števila, ki ustreza izbrani točki (koordinata točke), torej imamo v našem primeru dve koordinati $x_A$ in $x_B$ za točki $A$ in $B$. Tedaj lahko razdaljo med poljubnima točkama na njej opredelimo z izrazom

Izračunaj razdalje točk na številski premici:

Točki $A(2,8)$ in $B(-1,2)$ sta na premici oddaljeni enote.

Točki $A(2,8)$ in $B(1,2)$ sta na premici oddaljeni enote.

Točki $A(-2,8)$ in $B(-1,2)$ sta na premici oddaljeni enote.

Točki $A(-2,8)$ in $B(1,2)$ sta na premici oddaljeni enote.

Pozor! $A(3,2)$ je točka $A$ s koordinato $3,2$ enote, ne pa točka z dvema koordinatama.

To je uvod v naslednja poglavja geometrije. Veliko omenjenega bo kasneje še na različne načine obdelano in osvetljeno.

Na premici $p$ ležijo tri točke $A$, $B$ in $C$ tako, da $B$ leži med $A$ in $C$.

Koliko različnih daljic določajo?

Kako simbolično zapišemo izjavo $A$ leži na premici $p$?

Izjavo $A$ leži na premici $p$ zapišemo:

Koliko premic določa točka $A$ v ravnini? Koliko pa točki $A$ in $B$, če je $B$ različna točka od točke $A$.

Skozi točko $A$ poteka\ta neskončno mnogo premic. natanko dve premici. natanko ena premica. Skozi $A$ in $B$ poteka neskončno mnogo premic. natanko dve premici. natanko ena premica.

V ravnini ležijo tri točke $A$, $B$ in $C$ tako, da niso vse na isti premici.

(Glej sliko.)

a) Koliko različnih premic določajo?

a)

b) Koliko vzporednih parov premic je z njimi določenih?

b)

c) S katerim zaporedjem ukazov v gradivu bi narisal vse, kar naloga zahteva?

c) Zaporedje ukazov je na primer lahko:

Na številski premici sta dani točka $A$ s koordinato $x = 2, 5$ in točka $B$ s koordinato $x = −3, 5$. Kolikšna je oddaljenost točk $A$ in $B$? Kakšno koordinato ima točka $C$, ki je na dveh tretjinah poti od $B$ k $A$?

$d(B,A) = |2, 5−(−3, 5)| =$ Na dveh tretjinah poti od $B$ k $A$ je točka, ki ima koordinato $x_1 =$.