Na visoški gimnaziji se je pred matematično učilnico vnela konstruktivna debata med prijateljema.

LUKA: Kako lahko trdiš, da je naravnih števil enako mnogo kot celih števil, če pa so vsa naravna števila hkrati tudi cela števila? Gotovo je celih števil več kot naravnih, saj cela števila vsebujejo poleg naravnih še negativna cela števila.

VID: Motiš se, Luka. Celih števil je enako mnogo kot naravnih števil.

Prešteteti elemente v množici, ki ne vsebuje končnega števila elementov, seveda ni tako lahko kot v končnih množicah. Pa gremo lepo po vrsti.

V okvirček vpiši ustrezno število.

1. Moč množice, ki vsebuje vse črke slovenske abecede, je . Moč množice, ki vsebuje vse samoglasnike, je , moč množice, ki vsebuje vse soglasnike, pa .

Preveri

V okvirček vpiši ustrezno število.

2. Moč množice, ki vsebuje vse delitelje števila 15, je . Moč množice, ki vsebuje vse delitelje števila 6, je . Moč množice, ki vsebuje vse skupne delitelje števil 25 in 15, je .

Preveri

V okvirček vpiši ustrezno število.

3. Moč množice črk, ki jih vsebuje beseda BANANA, je , moč množice, ki vsebuje vse črke besede MATEMATIKA, pa je .

Preveri

Preveri, katere od naslednjih množic so končne in katere neskončne, in jih z miško prenesi v ustrezno škatlo.

Riš datoteka

Številke na desni strani predstavljajo moč množic. Množice poveži z ustrezno močjo množic.

Riš datoteka

Premakni množici $\mathcal{A}$ in $\mathcal{B}$ na spodnjem Vennovem diagramu tako, da bodo vsi elementi množice $\mathcal{A}$ hkrati tudi elementi množice $\mathcal{B}.$

(Množici premikaš tako, da z miško premikaš središča krožnic.)

Riš datoteka

1. Kateri od spodnjih zapisov s simboli označuje zgornjo trditev?

2. Kateri od spodnjih zapisov s simboli označuje zgornjo trditev?

3. Kateri od spodnjih zapisov s simboli označuje zgornjo trditev?

4. Kaj lahko sklepaš o moči poljubnih končnih množic $\mathcal{A}$ in $\mathcal{B}$, za kateri velja, da je množica $\mathcal{A}$ podmnožica množice $\mathcal{B}$?

5. Kaj lahko sklepaš, če velja $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ in $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$?

Lastnost podmožic

1. Katera od spodnjih množic ni podmnožica množice $\mathcal{A}=\{1,0,\sqrt{2}\}$?

2. Kateri od naslednjih zapisov je pravilen?

3. Kateri od naslednjih zapisov je pravilen?

4. Katere elemente vsebuje neprazna množica $\mathcal{A}$, če je hkrati podmnožica množic $\mathcal{B}=\{2,3,5\}$ in $\mathcal{C}=\{1,3\}$?

Premakni množice $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ in $\mathcal{C}$ v spodnjem Vennovem diagramu tako, da bo množica $\mathcal{C}$ hkrati podmnožica množice $\mathcal{A}$ in množice $\mathcal{B}$.

(Množici premikaš tako, da z miško premikaš središča krožnic.)

Riš datoteka

Še o moči neskončnih množic

Se spomniš, kako sta se Luka in Vid pred učilnico spraševala, ali je naravnih in celih števil enako mnogo? Pomagajmo jima odgovoriti na vprašanje.

Cantor je dokazal, da množica realnih števil ni števna. Njeno moč je imenoval moč kontinuuma.

NESKONČNA MNOŽICA ima lahko enako moč kot njena prava podmnožica. Res je, da imata množici naravnih in celih števil enako moč. Da ti bo lažje razumeti to dejstvo, poglej na spodnji listek, kamor sta Luka in Vid zapisovala v prvo vrstico vsa naravna števila in v drugo vrstico vsa cela števila. Če bi nadaljevala z zapisovanjem dovolj dolgo, bi prišla do poljubnega naravnega ali do poljubnega celega števila.

Poskusi podobno razmišljati pri spodnji nalogi in s pomočjo animacije primerjaj moč množice vseh naravnih števil $\mathbb{N}$ in moč množice vseh sodih naravnih števil $\mathcal{S}$. Označi pravilni odgovor.

Preveri

1. naloga

a) $\mathcal{A}=\{n \in \mathbb{N};n \leq 100 \; in \; 5|n \}$

Moč množice $\mathcal{A}=$ .

Preveri

1. naloga

b) $\mathcal{B}=\{(-2)^{n+1};n \in \mathbb{N} \}$

Moč množice $\mathcal{B}=$ .

Preveri

1. naloga

c) $\mathcal{C}=\{(-1)^{n};n \in \mathbb{N} \}$

Moč množice $\mathcal{A}=$ .

Preveri

1. naloga

d) $\mathcal{D}=\{n \in \mathbb{N};n|25 \}$

Moč množice $\mathcal{D}=$ .

Preveri

2. naloga

Zapiši vse podmnožice množice $\mathcal{A}=\{ n \in \mathbb{N};3^n \leq 100 \}.$

Preveri

3. naloga

Dane so množice

$\mathcal{A}=\{ (-1)^{2n};n \in \mathbb{N} \},$
$\mathcal{B}=\{ (-1)^{n};n \in \mathbb{N} \},$
$\mathcal{C}=\{ x \in \mathbb{Z};(x^2+x)(x-1)=0 \}.$

Poveži jih v verigo podmnožic.

4. naloga

Označi pravilen zapis.

Preveri

5. naloga

Dani sta množici $\mathcal{A}=\{ -1,2,3 \}$ in $\mathcal{B}=\{ 2,3,4,0 \}.$

a) Poišči tako množico $\mathcal{C},$ da bo hkrat veljalo $\mathcal{C} \subset \mathcal{A}$ in $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}.$ Označi pravilne rešitve.

Preveri

5. naloga

Dani sta množici $\mathcal{A}=\{ -1,2,3 \}$ in $\mathcal{B}=\{ 2,3,4,0 \}.$

b) Poišči najmanjšo tako množico, da bosta $\mathcal{A}$ in $\mathcal{B}$ njeni podmnožici. Označi pravilni odgovor

6. naloga

Številske množice $\mathbb{R},$ $\mathbb{Q},$ $\mathbb{N}$ in $\mathbb{Z}$ poveži v verigo podmnožic.