Poišči predmet, ki ima obliko krožnice. Predmet previdno stisni (da ne poči), kot je prikazano na filmu. Dobiš novo krivuljo, ki je podobna elipsi. Vsaka takšna krivulja ni nujno elipsa. Elipso boš podrobneje spoznal v nadaljevanju.
|
|
Elipsa
Elipsa
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Poskusi sam
Analitična definicija elipse
Analitična definicija elipse
Izpeljimo enačbo raztegnjene krivulje.
Razmisli, kaj se zgodi z koordinatami točk na krožnici.
Kje krivulja seka osi
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Dana krivulja seka abscisno os v in , ordinatno os pa v in .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Pri računanju presečišča z osjo vstavimo v enačbo . Absciso izračunamo iz enačbe . Dobimo ali .
Namig
Pri računanju presečišča z osjo vstavimo v enačbo .
Simetričnost krivulje glede na osi
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Dana množica točk je smetrična glede na in os.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Razmisli. Kaj se zgodi z enačbo, če namesto vstaviš ?
Namig
Če v enačbo namesto vstavimo –, se enačba ne spremeni.
Območje, na katerem leži dana elipsa
Enačbo elipse bomo preoblikovali v eksplicitno obliko (predpis je dvoličen):
Ugotovimo, da dobimo za realne vrednosti le v primeru, ko je korenjenec nenegativen. Torej za oziroma za []. Prav tako lahko ugotovimo, da če povečujemo , vrednosti padajo.
Strnimo naše ugotovitve
- Elipsa z enačbo seka abscisno os v točkah in , ordinatno os seka v točkah in . Te točke imenujemo temena elipse.
- Elipsa leži na območju , kjer je [].
- Krivulja v prvem kvadrantu pada.
- Krivulja je simetrična glede na abscisno os.
- Krivulja je simetrična glede na ordinatno os.
Opis elipse
Opazuj spodnjo animacijo in si poskušaj zapomniti, kako poimenujemo najpomembnejše parametre elipse.
|
|
Elipsa je krivulja, ki jo dobimo z raztegom krožnice v smeri osi s faktorjem .
Parameter imenujemo velika polos, parameter pa mala polos elipse, če je .
Ker je središče elipse v središču koordinatnega sistema, rečemo tudi, da je to elipsa v središčni legi.
Vaje
Izberi pravilni odgovor.
Točka leži na elipsi z enačbo
Elipsa z enačbo seka abscisno os v točkah
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Točka ne leži na elipsi z enačbo
Elipsa z enačbo seka abscisno os v točkah in
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Vaje
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Točka leži na elipsi z malo polosjo . Enačba elipse z malo polosjo , na kateri leži točka , je
Elipsa z enačbo seka ordinatno os v točkah in
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Če točka leži na elipsi, mora zadoščati njeni enačbi.
Vaje
Krožnico lahko raztegnemo tudi v smeri osi . Na spodnji konstrukciji s pomočjo drsnikov in spreminjaš osi elipse.
|
|
Riš datoteka
Ali se enačba elipse spremeni, če je ?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Enačba elipse se ne spremeni.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Vrtnarska konstrukcija elipse
|
|
Krajišči vrvice z dolžino pritrdimo v izbranih točkah (količkih na filmu). S količkom napnemo vrvico in vlečemo količek po tleh ob napeti vrvici.
Geometrijska definicija elipse ni vezana na koordinatni sistem. Dovolj je, da v ravnini izberemo dve točki, ki ju imenujemo gorišči (razdaljo med goriščema označimo z ), in razdaljo med najbolj oddaljenima točkama na elipsi (dolžina vrvice na filmu, ki je enaka ).
Geometrijska definicija elipse
Razdaljo med goriščema označimo z . Gorišči sta točki in , če je , sicer sta gorišči na osi . Dolžino imenujemo linearna ekscentričnost elipse, dolžini in pa osi elipse.
Risanje elipse
Z desnim gumbom na miški premikaj gorišče . Z levim gumbom pa elipso s pomočjo točke tudi narišeš.
|
|
Razdalja med goriščema je krajša od razdalje med najbolj oddaljenima točkama elipse .
Geometrijska izpeljava enačbe
Elipso postavimo v koordinatni sistem tako, da bosta gorišči ležali na abscisni osi (enako oddaljeni od središča koordinatnega sistema). Taki legi elipse pravimo središčna lega elipse. Izberemo si točko , ki leži na elipsi. Z označimo pravokotno projekcijo točke na os (glej animacijo spodaj). Animacijo lahko ustaviš tako, da klikneš nanjo.
|
|
Geometrijska izpeljava enačbe
Trikotnika in sta pravokotna (zaradi pravokotne projekcije točke na os ). Na njunih stranicah uporabimo Pitagorov izrek:
in
Iz geometrijske definicije elipse sledi, da je . Torej je
Dobili smo enačbo elipse. To iracionalno enačbo preoblikujemo do klasične oblike enačbe elipse.
Enačbo kvadriramo:
Uredimo.
Odpravimo oklepaje na desni,
delimo z in poenostavimo.
Kvadriramo.
Poenostavimo,
delimo s in dobimo
od tod pa
Ker je je Nadomestimo z
Geometrijska izpeljava enačbe
Dobimo enačbo elipse v središčni legi , kjer je velika polos elipse, pa mala polos elipse.
Geometrijska definicija pokaže za še eno zvezo .
Če je , velja . V tem primeru sta gorišči na ordinatni osi. Koordinate gorišč so in .
Numerično ekscentričnost elipse izračunamo po formuli .
Naloge
1. naloga
Odgovori na vprašanja.
| a) | Elipsa je množica točk v ravnini, za katero velja, |
| b) | Elipsa je poseben primer krožnice. |
| c) | Razdalja med goriščema je |
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Elipsa je množica točk v ravnini, za katero velja, da je vsota razdalj od izbranih dveh točk vedno konstantna. |
| b) | Krožnica je poseben primer elipse. |
| c) | Razdalja med goriščema je . |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
2. naloga
Odgovori na vprašanja.
| a) | Katera od naslednjih enačb predstavlja elipso? |
| b) | Točka leži na elipsi z enačbo . Določi koordinato . |
| c) | Razdalja med goriščema je , daljša polos elipse meri . Enačba elipse je |
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Elipso predstavlja enačba |
| b) | |
| c) | Enačba elipse, katere daljša polos elipse meri , razdalja med goriščema pa je , je ali |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
3. naloga
Med navedenimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse v središčni legi, ki ima veliko polos na abscisni osi in je enaka , mala pa meri Elipso tudi nariši.
| Preveri | Slika elipse |
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
4. naloga
Med navedenimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse v središčni legi, ki ima linearno ekscentričnost elipse enako in veliko polos enako .
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
5. naloga
Med navedenimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse v središčni legi in za katero velja, da premica poteka skozi temeni elipse.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
6. naloga
Med navedenimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse v središčni legi in za katero velja, da je razdalja med goriščema razdalja med temenoma na abscisni osi pa
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
7. naloga
Med navedenimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse v središčni legi in za katero velja, da premica poteka skozi gorišče in teme elipse. Možnih je lahko več odgovorov.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
8. naloga
Poišči temena, gorišča in numerično ekscentričnost elipse . Med navedenimi možnostmi izberi pravo.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
9. naloga
Poišči temena, gorišča in numerično ekscentričnost elipse . Med navedenimi možnostmi izberi pravo.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
10. naloga
Poišči temena, gorišča in numerično ekscentričnost elipse . Med navedenimi možnostmi izberi pravo.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
11. naloga
Ugotovi, katere od navedenih točk ležijo na elipsi z enačbo Odgovorov je lahko več.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Na elipsi ležita točki in .
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
12. naloga
Med danimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse, ki poteka skozi točki in
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
13. naloga
Med danimi enačbami izberi tisto, ki predstavlja enačbo elipse, ki poteka skozi točki in
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
14. naloga
Na spodnji sliki je elipsa v središčni legi.
Njena enačba, koordinati temen, koordinati gorišč, linearna in numerična ekscentričnost so
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
