Premik elipse
Premik elipse
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Elipsa v središčni legi
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Enačba elipse s središčem v izhodišču koordinatnega sistema, ki seka abscisno os v točkah in in ordinatno os v točkah in , je |
| b) | Točka leži zunaj elipse z enačbo . |
| c) | Elipso, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema, predstavlja enačba |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Preoblikuj enačbo in si pomagaj z animacijo.
Spreminjaj polosi elipse z drsniki na levi strani slike. Če drsnika premikaš z levim miškinim gumbom, lahko parametra in zavzameta poljubno vrednost med in , če drsnika premikaš z desnim miškinim gumbom, pa so vrednosti parametrov lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (torej , , , , , in ).
|
|
Elipsa v središčni legi
Stožnice lahko zapišemo z enačbo . Razmislimo, kdaj ta enačba predstavlja elipso v središčni legi.
Če je elipsa v središčni legi, jo lahko zapišemo z enačbo (oziroma ). Torej zgornja enačba predstavlja elipso, če je , , in . Kar smo povedali, velja le, če ima elipsa središče v izhodišču koordinatnega sistema.
Kako bi zapisali enačbo elipse, ki nima središča v izhodišču koordinatnega sistema?
- Poznamo enačbo elipse s središčem v izhodišču koordinatnega sistema.
- Zapisati znamo koordinate točke, ki jo dobimo, če točko premaknemo za vektor To je točka s koordinatami Podobno smo premaknili tudi krožnico. Najprej smo zapisali enačbo krožnice v središčni legi To krožnico smo premaknili za vektor in smo dobili enačbo premaknjene krožnice
Elipsa v premaknjeni legi
Na spodnji konstrukciji premakni elipso iz središča. Ob strani se ti bo izpisala enačba elipse. Poskusi povezati enačbo elipse s premikom elipse za dan vektor.
Če središče premikaš z levim miškinim gumbom, lahko parametra a in b zavzameta poljubno vrednost med in , če središče premikaš z desnim miškinim gumbom, pa so vrednosti parametrov lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (torej , , , , , in ).
|
|
Enačba elipse v premaknjeni legi
Vemo, da je enačba elipse v središčni legi enaka Novo središče elipse je sedaj v točki . Če jo želimo premakniti nazaj v koordinatno izhodišče, jo moramo premakniti za vektor Dobimo enačbo elipse v premaknjeni legi.
Enačba elipse v premaknjeni legi je
kjer je središče elipse, parametra in pa imenujemo velika in mala polos elipse.
Vaja
Izberi pravilni odgovor.
| a) | Dana je elipsa z enačbo . Elipsa ima središče v točki | ||
| b) | Enačba elipse s središčem v točki z malo polosjo in veliko je | ||
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Elipsa ima središče v točki in veliko polos . |
| b) | Enačba elipse s središčem v točki z malo polosjo in veliko je |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Koordinate temen in gorišč premaknjene elipse
Ker smo elipso premaknili, smo premaknili tudi gorišča in temena. Kratek razmislek nam pove, da so temena premaknjene elipse:
| in |
Enako velja tudi za gorišča:
| in če je oz. |
| in če je |
Elipsa je krivulja drugega reda
Omenili smo, da je elipsa krivulja drugega reda, ki jo lahko zapišemo z enačbo . Ali lahko iz te enačbe prepoznamo elipso?
| a) | Izračunamo kvadrate. | |
| b) | Enačbo množimo z , jo preuredimo in dobimo | |
| c) | Ugotovimo: | |
Elipsa je krivulja drugega reda
Parametra in sta pozitivna. Če sta tudi različna, je to že potreben pogoj, da enačba predstavlja elipso. Za radovedne pa še zadosten pogoj, da enačba predstavlja elipso.
Poiščimo še zvezo med središčem elipse in koeficienti.
- Parametra in vstavimo v in .
- Dobimo in .
- Izrazimo in .
- Dobimo želeno zvezo: in
Ker sta in pozitivna, sta pozitivna tudi ulomka in Če zadnjo enačbo delimo s dobimo
Torej enačba predstavlja elipso, ko je (spomni se splošne enačbe elipse v premaknjeni legi).
Elipsa je krivulja drugega reda
Kako preverimo, da enačba predstavlja elipso, če se prej uporabljenih pogojev ne spomnimo?
Če , enačba očitno ne predstavlja elipse. Vemo, da sta in pozitivna in (če bi bila enaka, bi enačba lahko predstavljala krožnico).
Če je , enačbo dopolnimo do popolnega kvadrata. Kako? Do popolnega kvadrata dopolnimo tako del izraza s spremenljivko kot del izraza s spremenljivko .
- Najprej izpostavimo pri spremenljivki in pri spremenljivki . Dobimo
- Dopolnimo do popolnega kvadrata:
- Poenostavimo:
Razmisli, kje je središče elipse?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Elipsa ni funkcija, saj je krivulja. |
| b) | Trditev velja le za elipso v središčni legi. Na splošno trditev ne velja. |
| c) | Drži. Krožnica je poseben primer elipse. |
| d) | Če je središče v izhodišču koordinatnega sistema, je elipsa v središčni legi (torej ni premaknjena). |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Ali se vsak iz definicijskega območja elipse preslika v natanko en iz zaloge vrednosti elipse?
Namig
Razmisli, ali trditev velja tudi za elipso v premaknjeni legi.
Namig
Vstavi v enačbo elipse podan pogoj. Kaj dobiš, ko enačbo poenostaviš?
Namig
Kje ima središče elipsa v premaknjeni legi?
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Elipsa z enačbo se dotika ordinatne osi. |
| b) | Enačba elipse, ki ima središče v točki , veliko in malo polos pa enako , je |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Premikaj središče elipse in spreminjaj njeni polosi z drsniki na levi strani slike. Opazuj, kako se spreminja enačba elipse, in odgovori na vprašanja, ki sledijo. Če središče in drsnika premikaš z levim miškinim gumbom, lahko parametra in zavzameta poljubno vrednost med in , če drsnika premikaš z desnim miškinim gumbom, pa so vrednosti parametrov lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (torej , , , , , in ).
|
|
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Enačba elipse s središčem v točki , z veliko polosjo in malo polosjo je |
| b) | Trditev, da točka leži zunaj dane elipse, ne drži. Točka leži na dani elipsi. |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Premikaj središče elipse in spreminjaj njeni polosi z drsniki na levi strani slike. Opazuj, kako se spreminja enačba elipse, in odgovori na vprašanja, ki sledijo. Če središče in drsnika premikaš z levim miškinim gumbom, lahko parametra in zavzameta poljubno vrednost med in , če drsnika premikaš z desnim miškinim gumbom, pa so vrednosti parametrov lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (torej , , , , , in ).
|
|
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
| a) | Enačba predstavlja točko |
| b) | Enačba predstavlja elipso s središčem v točki . |
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Premikaj središče elipse in spreminjaj njeni polosi z drsniki na levi strani slike. Opazuj, kako se spreminja enačba elipse, in odgovori na vprašanja, ki sledijo. Če središče in drsnika premikaš z levim miškinim gumbom, lahko parametra in zavzameta poljubno vrednost med in , če drsnika premikaš z desnim miškinim gumbom, pa so vrednosti parametrov lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (torej , , , , , in ).
|
|
Namig
Preoblikuj enačbo.
Naloge
5. naloga
Kateri izmed spodnjih odgovorov predstavlja enačbo elipse na sliki in njeni gorišči?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
7. naloga
Kateri izmed spodnjih odgovorov predstavlja enačbo in gorišči elipse, ki se dotika premic in
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
8. naloga
Ali enačba predstavlja elipso? Če enačba predstavlja elipso, poišči tudi njeno središče, temena in gorišča.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
9. naloga
Ali enačba predstavlja elipso? Če enačba predstavlja elipso, poišči tudi njeno središče, temena in gorišča.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Enačba ne predstavlja elipse.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
10. naloga
Ali enačba predstavlja elipso? Če enačba predstavlja elipso, poišči tudi njeno središče, temena in gorišča.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Enačba ne predstavlja elipse.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
11. naloga
Ali enačba predstavlja elipso? Če enačba predstavlja elipso, poišči tudi njeno središče, temena in gorišča.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
12. naloga
Ali enačba predstavlja elipso? Če enačba predstavlja elipso, poišči tudi njeno središče, temena in gorišča.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
13. naloga
Elipsa s središčem na ordinatni osi ima eno od gorišč v središču krožnice z enačbo in se v temenu dotika te krožnice. Izberi enačbo elipse.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
