Začnimo naše razmišljanje z Evklidovim aksiomom. Omenili smo že, da je aksiom temeljna resnica, ki je ne dokazujemo, ampak jo privzamemo kot veljavno hipotezo.

Evklidovo trditev si lahko predstaviš s pomočjo spodnje slike. Na njej imamo premico in točko , ki ne leži na premici. Skozi točko lahko premici narišemo natanko eno vzporednico. Vzporednica se bo izrisala, če boš vlekel točko na modrem drsniku.

Razmislimo o medsebojni legi dveh premic v ravnini. V kašnem medsebojnem odnosu sta lahko?

Imamo več možnosti:

• premici nimata nobene skupne točke - tedaj sta vzporedni
• premici imata eno skupno točko - tedaj se sekata v tej točki
• premici imata dve skupni točki - tedaj premici nista več različni, ampak se prekrivata. Vemo, da lahko skozi dve točki potegnemo natanko eno premico. Če imata dve premici dve skupni točki, gre za identični premici.

Na sliki imamo vzporedni premici in in premico , ki seka obe premici. Vidimo tudi osem kotov. Razmislimo ali so koti medseboj kako povezani?

Opazuj sliko in dopolni

Kota in sta sokota podobna kota skladna kota sovršna kota . Kota in sta sokota podobna kota skladna kota sovršna kota .

Lahko pa opazimo še naslednje:

1. pari kotov , , , imajo oba kraka vzporedna v isto smer

2. pari kotov , , , imajo oba kraka vzporedna v nasprotno smer

3. pari kotov , , , imajo en krak vzopreden v isto smer, drugega v nasprotno smer

Izrišimo si vse tri situacije:

Kota z vzporednimi kraki v isto smer sta skladna.

Kota z vzporednimi kraki v nasprotno smer sta skladna.

Kota, ki imata en krak vzporeden v isto, en pa v nasprotno smer sta suplementarna.

Zgornjo trditev preveri s pomočjo slike. Premikaj točko na zelenem drsniku. Kot se popolnoma prekrije s kotom , torej sta skladna. Iz slike že lahko razbereš, da je kot suplementaren kotu . Če pa premikaš točko na modrem drsniku, lahko ugotoviš, da je kot suplementaren tudi kotu .

Na sliki sta dve vzporedni premici ( in ) in dve premici, ki ju sekata. Označeni sta velikosti dveh kotov. Izračunaj velikost kota .

Naloga o kotih z vzporednimi kraki

Velikost kota je:

a	b	c	d

Na sliki so štirje pari kotov z vzporednimi kraki. Vsak par je označen s črko. Kateri pari predstavljajo skladne kote, kateri pa suplementarne?

Na sliki poteka animacija konstrukcije. V trikotniku smo narisali razpolovišče daljice . Nato smo skozi razpolovišče narisali vzporednico nosilki daljice in nosilki daljice .

Animacijo lahko ustaviš s klikom.

Opazuj in dopolni.

Kaj lahko povemo o trikotnikih in ? Kota in imata pravokotne vzporedne sekajoče se krake v nasprotni isti smeri, torej sta skladna. Kota in imata vzporedne krake v isti smeri, torej sta sovršna skladna sosedna . Ker je razpolovišče daljice , sta daljici in podobni skladni sosedni .

Odgovori

Kaj pa trikotnika in ?

Na spodnji sliki je narisan podoben trikotnik kot pri prejšnjem primeru. Na novi sliki sta dodani razpolovišči stranic (označeno s ) in (označeno z ), nato pa so potegnjene skozi razpolovišča vzporednice nosilkam stranic. Ugotovil si, da sta trikotnika in skladna.

S premikanjem preskusnega trikotnika (na sliki je obarvan rjavo) preveri, da smo dobili štiri skladne trikotnike. Trikotnik premikaš tako, da vlečeš točki (na vodoravnem) in na navpišnem drsniku. Trikotnik lahko po potrebi tudi obrneš, s pomočjo premikanja točke na drsniku "obrat":

Kaj lahko povemo o srednjici trikotnika?

Imejmo v ravnini eno premico in točko, ki ne leži na dani premici. Koliko pravokotnic dani premici lahko narišemo skozi dano točko?

Pravokotnica na premico p skozi točko A

Razmislimo zakaj to drži. Denimo, da bi premici skozi izbrano točko lahko narisali dve pravokotnici, poimenujmo ju in . Ker obe sekata premico pod pravim kotom, sta tudi sokota obeh kotov prava kota. Vendar leži poltrak premice v notranjosti sokota pravega kota. To je protislovje, saj sta oba kota prava in tako enaka. Ker smo prišli do protislovja, prvotna predpostavka ne drži.

Sedaj, ko vemo, da je v ravnini skozi izbrano točko mogoče narisati samo eno pravokotnico, jo lahko tudi konstruiramo z ravnilom in šestilom. Oglejmo si konstrukcijo skozi prekinitvene točke.

Najprej potegnemo krožni lok s središčem v točki , tako da seka premico . S tem določimo točki in . Nato narišemo še dva krožna loka, enega s središčem v , enega pa s središčem v . Kjer se sekata dobimo točko . Skozi točki in lahko potegnemo natanko eno premico.

Prej smo pogledali v kakšni medsebojni povezavi sta kota, ki imata vzporedne krake.Ali lahko ugotovimo povezavo med koti s pravokotnimi kraki.

Opazuj sliko.

Dopolni

Preberi spodnje odstavke in jih dopolni.

Opazuj trikotnika in . Notranji kot trikotnika ob oglišču je iztegnjeni topi oster pravi kot, saj smo želeli imeti kota s pravokotnimi kraki. Tudi notranji kot trikotnika ob oglišču je iztegnjeni topi oster pravi , saj smo tako narisli kota. Oba notranja kota ob oglišču sta prav tako enaka, saj sta sokota sosedna sovršna . Ker imata trikotnika enaka dva kota, sta kota in tudi sokota podobna enaka . Kota s pravokotnimi kraki na naši sliki sta sokota podobna skladna .

Lahko pa imamo tudi drugačna kota s pravokotnimi kraki. Opazuj sliko.

Iz velikosti kotov na sliki, lahko ugotoviš, da sta kota suplementarna.

Točko lahko pravokotno projiciramo na premico .

Razdalja točke od premice je dolžina daljice , kjer je pravokotna projekcija točke na premico .

Pravokotna projekcija daljice na premico je daljica , katere točke so pravokotne projekcije točk daljice .

Na spodnji animaciji lahko pogledamo, kako narišemo pravokotno projekcijo daljice na premico.

Kakšna sta kota z vzporednimi kraki?

Kaj je srednjica trikotnika?

Kako izračunamo razdaljo točke od premice ?

Koliko pravokotnih projekcij daljice na premico obstaja?

Izračunaj kota in .

Na sliki sta dva para vzporednih premic. Določi skladne kote kotu .

Narišite premico, ki je enako oddajena od dveh izbranih točk in .