Osnovni izrek o deljenju

Osnovni izrek o deljenju

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Iz osnovne šole se spomnimo:


Račun: ostanek


Preizkus:

Naloga

Iva, Jan, Tim, Tea, Miha in Janja potrebujejo hrano za piknik. Ker nihče noče prostovoljno v trgovino, se dogovorijo, da naj izštevanka določi "srečnega izbranca". Izštevanko začnejo šteti pri Ivi v smeri proti Janu (glej spodnjo sliko). Izštevanka se ustavi pri Mihi. Točno tedaj zazvoni telefon. Miha, Tim in Janja morajo nujno takoj domov. Zdaj Iva, Jan in Tea ponovijo isto izštevanko. Spet začnejo pri Ivi in nadaljujejo proti Janu.


(izpade2.jpg)

Naloga

Kdo bo moral v trgovino?


Iva
Tim
Jan
Tea
Miha
Janja

Pravilno

Napačno

Predelaj snov o osnovnem izreku o deljenju, ki je pred teboj, in se kasneje vrni k nalogi.

Delimo karte

Na spodnji konstrukciji razdeli karte tako, da vsak igralec dobi enako število kart. Karte, ki ti ostanejo, daj v okvirček za ostanek. Igralci naj dobijo največje možno število kart. Ko boš karte razporedil pravilno, se bo izpisalo obvestilo.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Potrebuješ pomoč?

  • Najprej daj vsakemu igralcu 1 karto: porabiš 5 kart.
  • Vsakemu igralcu dodaj še eno karto: porabiš skupno 10 kart.
  • Vsakemu igralcu dodaj še eno karto: porabiš skupno 15 kart.

Ostaneta ti še 2 karti, zato ne moreš več dati vsakemu igralcu po eno karto. Ti dve karti daj v okvirček za ostanek.

Delimo karte

Kako razdeliti 19 kart petim igralcem?


Vsak igralec dobi karte, ostanejo karte.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

19:5 = 3, ost. 4

Vsak igralec dobi 3 karte, ostanejo 4 karte.

Delimo karte

Kako razdeliti 20 kart petim igralcem?


Vsak igralec dobi karte, kart ostane.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

20:5 = 4, ost. 0

Vsak igralec dobi 4 karte, nobena ne ostane.

Delimo karte

Ali lahko pri deljenju petim igralcem ostane 7 kart?


Da
Ne

Pravilno

Če imamo namreč še sedem kart, jih odvzamemo 5 in damo vsakemu igralcu še eno karto. Tako nam ostaneta 2 karti.

Napačno

Če imamo namreč še sedem kart, jih odvzamemo 5 in damo vsakemu igralcu še eno karto. Tako nam ostaneta 2 karti.

Delimo karte

Katere ostanke lahko dobimo pri deljenju 5 igralcem?



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4

Če bi bil ostanek 5 ali več, bi lahko odvzeli 5 kart in zmanjšali ostanek.

Delimo karte

Katere ostanke lahko dobimo pri deljenju z 8?



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Če nam ostane 8 kart ali več, lahko vsakemu igralcu damo vsaj še 1 karto in tako zmanjšamo ostanek.

Delimo karte

Ali sta ostanek in število kart enega igralca točno določena?


Da
Ne

Pravilno

Predstavljajmo si, da karte delimo igralcem po vrsti takole:

  • vsakemu igralcu damo 1 karto,
  • vsakemu igralcu damo še 1 karto,
  • vsakemu igralcu damo še 1 karto...

Pri takem postopku imamo zagotovo po nekem koraku v rokah manj kart, kot je igralcev. Te karte damo v ostanek.

Takšen postopek točno določa, koliko kart dobi posamezen igralec in kolikšen je ostanek.

Računsko pa to pomeni, da sta pri deljenju dveh števil količnik in ostanek točno določena.

Napačno

Predstavljajmo si, da karte delimo igralcem po vrsti takole:

  • vsakemu igralcu damo 1 karto,
  • vsakemu igralcu damo še 1 karto,
  • vsakemu igralcu damo še 1 karto...

Pri takem postopku imamo zagotovo po nekem koraku v rokah manj kart, kot je igralcev. Te karte damo v ostanek.

Takšen postopek točno določa, koliko kart dobi posamezen igralec in kolikšen je ostanek.

Računsko pa to pomeni, da sta pri deljenju dveh števil količnik in ostanek točno določena.

Delimo karte

Koliko kart smo razdelili petim igralcem, če je vsak dobil 4 karte, 2 pa sta še ostali?


Razdelili smo kart.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Število kart

Razdelili smo 22 kart.

Osnovni izrek o deljenju

Delimo 7 s 3. Kaj dobimo? Dopolni. (Predstavljaj si karte.)


7:3 = , ost. , kar je zapisano z enačbo


Pri tem sta ostanek = in količnik = točno določena.


Ostanek mora biti manjši od 3, torej števila, s katerim delimo.


Možni ostanki: 0, 1, 2


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

7:3 = 2, ost. 1, kar je zapisano z enačbo

Pri tem sta ostanek = 1 in količnik = 2 točno določena.

Ostanek mora biti manjši od 3, torej števila, s katerim delimo.

Možni ostanki: 0, 1, 2

Osnovni izrek o deljenju

Delimo 13 s 5. Kaj dobimo? Dopolni.


13:5 = 2, ost. 3, kar je zapisano z enačbo = + .


Pri tem sta ostanek = in količnik = točno določena.


Ostanek mora biti manjši od 5, torej števila, s katerim delimo.


Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

13:5 = 2, ost. 3, kar je zapisano z enačbo

Pri tem sta ostanek = 3 in količnik = 2 točno določena.

Ostanek mora biti manjši od 5, torej števila, s katerim delimo.

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, 4

Osnovni izrek o deljenju

To pa je že točno to, kar pravi osnovni izrek o deljenju. Povejmo ga še splošno.


 

Naj bosta a in in b naravni števili. Če delimo število a s številom b, dobimo točno določen količnik k in ostanek o.

ost. kar je zapisano z enačbo

Možni ostanki: 0, 1, 2, 3, ... b–1



(osnovnii.gif)

Naloge

1. naloga

a) Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 14 in 3.


: = , ost.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

14:3 = 4, ost. 2

Naloge

1. naloga

b) Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 59 in 9.


: = , ost.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

59:9 = 6, ost. 5

Naloge

1. naloga

c) Katero število moramo deliti z 10, da dobimo količnik 3 in ostanek 4?


Deliti moramo število .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

x:10 = 3, ost. 4

Enačba:

Deliti moramo število 34.

Naloge

1. naloga

d) S katerim številom moramo deliti 50, da dobimo količnik 8 in ostanek 2?


Deliti moramo število .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

50:x = 8, ost. 2

Enačba:

Rešimo enačbo:

50 = 8x+2

50–2 = 8x

48 = 8x

x = 6

Deliti moramo s številom 6.

Naloge

1. naloga

e) Če število 6a+4 delimo s številom a–1, dobimo količnik 7 in ostanek 1. Določi število a.


a= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

(6a+4):(a–1) = 7, ost.1

Enačba:

Rešimo enačbo:

6a+4 = 7a–7+1

10 = a

a = 10

Naloge

2. naloga

Kateri so možni ostanki pri deljenju s številom 7?


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Pravilno

Napačno

Namig: Ostanek je vedno manjši od števila s katerim delimo; torej 7. Najmanjši možen ostanek je 0.

Naloge

3. naloga - Zapis števila po osnovnem izreku o deljenju

a) Zapiši prvih 5 naravnih števil, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 2.


Števila: , , , , .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Števila: 2, 7, 12, 17, 22.

Naloge

3. naloga - Zapis števila po osnovnem izreku o deljenju

b) Dopolni osnovne izreke o deljenju za pravkar našteta števila.


2:5=0, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:
7:5=1, ost. 2,kar je zapisano z enačbo: +.
12:5=2, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:=
:5=, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:.
:=, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:= 4+.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

2:5=0, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:
7:5=1, ost. 2,kar je zapisano z enačbo: 1+2.
12:5=2, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:12=5
17:5=3, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:172.
22:5=4, ost. 2,kar je zapisano z enačbo:22=5 4+2.

Naloge

3. naloga - Zapis števila po osnovnem izreku o deljenju

c) Zdaj dopolni osnovni izrek o deljenju za poljubno število x, ki da pri deljenju s 5 ostanek 2.


x:5 = k, ost 2, kar je zapisano z enačbo = .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

x:5 = k, ost 2, kar je zapisano z enačbo x = 5 2.

Naloge

4. naloga

V kakšni obliki lahko zapišemo vsa števila x, ki dajo pri deljenju


a) s 5 ostanek 4?


x:5 = k, ost. 4, torej lahko število x zapišemo kot x = 5k+4.


b) z 8 ostanek 5?


x:8 = k, ost. , torej lahko število x zapišemo kot x = 8k+ .


c) z 10 ostanek 2?


: = k, ost. , torej lahko število x zapišemo kot = + .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

V kakšni obliki lahko zapišemo vsa števila x, ki dajo pri deljenju


a) s 5 ostanek 4?
x:5 = k, ost. 4, torej lahko število x zapišemo kot x = 5k+4.


b) z 8 ostanek 5?
x:8 = k, ost. 5, torej lahko število x zapišemo kot x = 8k+ 5.


c) z 10 ostanek 2?
x : 10 = k, ost. 2, torej lahko število x zapišemo kot x = 10k + 2.

Naloge

5. naloga

Dokaži, da je vsota dvakratnika števila, ki da pri deljenju s 7 ostanek 2, in štirikratnika števila, ki da pri deljenju s 7 ostanek 6, deljiva s 7.


Pokaži rešitev Skrij rešitev

Število, ki da pri deljenju s 7 ostanek 2: x = 7k+2

Število, ki da pri deljenju s 7 ostanek 6: y = 7l+6

Vsota: 2x+4y = 2(7k+2)+4(7l+6) = 14k+4+28l+24 = 14k+28l+28 = 7(2k+4l+4)

Torej je vsota res deljiva s 7.

Naloge

6. naloga

Pozorno si oglej račun na spodnji sliki. Razmisli, kolikšen je ostanek pri deljenju števila x z 20 in kolikšen pri deljenju s 5.


(racunnnn333.jpg)


Ostanek pri deljenju števila x s številom 20 enak .


Ostanek pri deljenju števila x s številom 5 enak .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Ostanek pri deljenju števila x s številom 20 enak 9.


Ostanek pri deljenju števila x s številom 5 enak 4.

Naloge

7. naloga

Če delimo neko število s 40, dobimo ostanek 12. Kolikšen je ostanek, če to število delimo s 5? Pomagaj si z računom, podobnim tistemu na sliki iz prejšnje naloge.


12
3
2

Namig

Pravilno

n = 40k+12 = 40k+10+2 = 5(8k+2)+2

Če dano število delimo s 5, dobimo ostanek 2.

Napačno

Napačno

Nepravilno, saj ostanek pri deljenju s 5 mora biti eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4.

Namig

n:40 = k, ost. 12

enačba: n = 40k+12

Radi bi dobili n = 5nekaj+ostanek, kjer je ostanek manjši od 5.

Preveri svoje znanje

1. Osnovni izrek za deljenje števila 35 z 2 se zapiše kot:

2. Katero število moramo deliti z 11, da dobimo količnik 4 in ostanek 5?

3. Če število a delimo z a–11, dobimo količnik 2 in ostanek a–20. Določi število a.

4. V kakšni obliki lahko zapišemo število n, ki da pri deljenju s 3 ostanek 2?


Preveri

Pravilno

Napačno

Pravilno si rešil od 4 vprašanj.

Rešitev

1. 35:2=17, ost.1
2. 49
3. a=21
4. n=3k+2

Rešitev uvodne naloge

Še enkrat poskusi rešiti nalogo z izštevanko.



Preveri rešitev Skrij rešitev

Izštevanka za 6 ljudi


Recimo, da pri izštevanki štejemo do n.

  • Ker je 6 ljudi, n delimo s 6.
  • Ker je Miha peti po vrsti, je ostanek pri deljenju števila n s 6 enak 5.

Torej je n oblike n = 6k+5.


Izštevanka za 3 ljudi

  • Ker so 3 ljudje, n delimo s 3.
  • Kolikšen je ostanek pri deljenju števila n s številom 3?

n = 6k+5 = 6k+3+2 = 3·(2k+1)+2

Ostanek pri deljenju števila n s 3 je enak 2.
Ker je Jan drugi po vrsti, bo moral v trgovino.


Dobro premisli, kako lahko svoje znanje uporabiš tudi v "koristne" namene!
(Kje začeti izštevanko, da se bo končala ravno pri ...)

Izštevanka

Namig

Namig

Besedilo izštevanke določa, do koliko moramo pri izštevanki šteti.


Npr. pri uvodu izštevanke Am(1) bam(2) pet pod(3)gan(4) štejemo do 4.


Recimo, da pri naši izštevanki (ki je sploh ne poznamo) štejemo do n. S koliko moramo deliti število n v prvem primeru, ko je 6 ljudi, in koliko v drugem primeru, ko so 3 ljudje?


Kolikšen je ostanek v prvem primeru? Kolikšen mora biti zato v drugem?

Iva, Jan, Tim, Tea, Miha in Janja potrebujejo hrano za piknik. Ker nihče noče prostovoljno v trgovino, se dogovorijo, da naj izštevanka določi "srečnega izbranca". Izštevanko začnejo šteti pri Ivi v smeri proti Janu (glej spodnjo sliko). Izštevanka se ustavi pri Mihi. Točno tedaj zazvoni telefon. Miha, Tim in Janja morajo nujno takoj domov. Zdaj Iva, Jan in Tea ponovijo isto izštevanko. Spet začnejo pri Ivi in nadaljujejo proti Janu.


(izpade2.jpg)

Dodatne naloge 1

Naštej ostanke, ki jih lahko dobimo pri deljenju s številom 14.


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Pravilno

Napačno

Dodatne naloge 2

Kaj pravi osnovni izrek o deljenju za deljenje števila 53 z 10?


: =, ost., kar je zapisano z enačbo


Osnovni izrek o deljenju števila 53 z 10 pravi, da pri tem deljenju obstajata točno določen 5 in 3. Ostanek 3 je manjši od delitelja .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

53: 10=5, ost.3, kar je zapisano z enačbo


Osnovni izrek o deljenju števila 53 z 10 pravi, da pri tem deljenju obstajata točno določen količnik 5 in ostanek 3. Ostanek 3 je manjši od delitelja 10.

Dodatne naloge 3

Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 62 in 9.


: =, ost.


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig: Zapisano z enačbo

Rešitev

62 : 9 = 6, ost. 8

Dodatne naloge 4

Zapiši osnovni izrek o deljenju za števili 45 in 5.


: =, ost.


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig: Zapisano z enačbo

Rešitev

45 : 5 = 9, ost.0

Dodatne naloge 5

Katero število moramo deliti z 9, da dobimo količnik 5 in ostanek 7?


Število .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
x : 9 = 5, ost. 7
enačba:

Rešitev

Deliti moramo število 52.

Dodatne naloge 6

S katerim številom moramo deliti 102, da dobimo količnik 11 in ostanek 3?


S številom .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
102 : x = 11, ost. 3
enačba:

Rešitev

Deliti moramo s številom 9.

Dodatne naloge 7

Če delimo število a s 6, dobimo kvocient in ostanek 3. Določi število a.


a= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
a : 6 = a − 28, ost. 3
enačba:

Rešitev

Število a je enako 33.

Dodatne naloge 8

Če trikratnik števila x delimo z dobimo količnik 4 in ostanek Določi število x.


x= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
3x : (x − 4) = 4, ost. x − 12
enačba:

Rešitev

Število x je enako 14.

Dodatne naloge 9

Če delimo neko število s 45, dobimo ostanek 11. Kolikšen je ostanek, če to število delimo z 9?


Ostanek je .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig:
x : 45 = k, ost 11

Rešitev

Če število delimo z 9, dobimo ostanek 2.

Dodatne naloge 10

Zapiši vsa ševila n, ki


a) so deljiva s 3

n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Poljubno število označi s "k".

Rešitev

n = 3k

Dodatne naloge 10

Zapiši vsa ševila n, ki


b) so soda

n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Poljubno število označi s "k".

Rešitev

n = 2k

Dodatne naloge 10

Zapiši vsa ševila n, ki


c) so liha

n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Poljubno število označi s "k".

Rešitev

n = 2k+1

Dodatne naloge 10

Zapiši vsa ševila n, ki


d) dajo pri deljenju s 5 ostanek 1

n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Poljubno število označi s "k".

Rešitev

n = 5k+1

Dodatne naloge 10

Zapiši vsa ševila n, ki


e) dajo pri deljenju s 7 ostanek 3

n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Poljubno število označi s "k".

Rešitev

n = 7k+3

Dodatne naloge 11

Dopolni dokaz, ki pravi, da je vsota števila, ki da pri deljenju s 15 ostanek 4, in števila, ki da pri deljenju s 3 ostanek 2, deljiva s 3.


Prvo število: a= 15k+


Drugo število: b= 3l+


Vsota: a+b=15k+4+3l+2=15k+3l+6= (5k+l+2)


Torej je vsota res deljiva s 3.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Prvo število: a= 15k+ 4
Drugo število: b= 3l+ 2
Vsota: a+b=15k+4+3l+2=15k+3l+6=3 (5k+l+2)
Torej je vsota res deljiva s 3.

Dodatne naloge 12

Dopolni dokaz, ki pravi, da je vsota petih zaporednih naravnih števil deljiva s 5.


Prvo število: n


Drugo število: n+


Tretje število: n+


Četrto število: n+


Peto število: n+


Vsota=n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10= (n+2)


Torej je vsota res deljiva s 5.


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Prvo število: n Drugo število: n+ 1
Tretje število: n+ 2
Četrto število: n+ 3
Peto število: n+ 4
Vsota=n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10=5 (n+2)
Torej je vsota res deljiva s 5.

0%
0%