Algebrski izrazi, enačbe in neenačbe - teorija

Algebrski izrazi, enačbe in neenačbe - teorija

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Spoznavanje operacij z izrazi, uporaba Pascalovega trikotnika, reševanje enačb in neenačb.

Več o projektu...

Izrazi

Večkratnik oziroma -kratnik števila je vsota enakih členov , kjer sta in celi števili. Primer: Večkratniki števila 4 so: -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16 ...

Izraz je smiseln zapis, sestavljen iz števil, spremenljivk, operacij in oklepajev, ki določajo vrstni red računanja. Nekaj najbolj pomembnih izrazov:

Kvadrat vsote
Kvadrat razlike
Kub vsote
Kub razlike
Razlika kvadratov
Razlika kubov
Vsota kubov
Izpostavljanje skupnega faktorja
Razlika n-tih potenc
Vsota n-tih potenc

S klikom na spodnja gumba si oglejte utemeljitev pravila za kvadrat in kub dvočlenika.

Ker lahko kvadrat števila zapišemo kot , lahko tudi kvadrat dvočlenika zapišemo kot . Izraz izračunamo tako, da vsak člen iz prvega oklepaja množimo z vsakim členom iz drugega oklepaja. Zato je .

Kvadrat dvočlenika

Ker lahko kub števila zapišemo kot , lahko tudi kub dvočlenika zapišemo kot ali . Ker smo kvadrat dvočlenika že izračunali, ga lahko uporabimo in dobimo .

Kub dvočlenika

PREMISLITE

Kako se lotimo reševanja izraza, če je treba izvesti več različnih operacij zapored?

Odgovor

Izpeljite obrazec za kvadrat tričlenika.

Odgovor

Vrstni red operacij pri izrazih

Če v izrazu ni oklepajev, ima množenje prednost pred seštevanjem oziroma odštevanjem. Če pa so v izrazu oklepaji, moramo najprej izvesti operacije znotraj oklepajev.

Kvadrat tričlenika

Tričlenik je izraz oblike . Kvadrat pa je . Če sedaj vsak člen prvega oklepaja pomnožimo z vsakim členom drugega oklepaja, dobimo .

Pascalov trikotnik

Pascalov trikotnik uporabljamo za računanje potenc dvočlenika. To je trikotnik, ki ima na vrhu eno število, število , v vsaki naslednji vrstici pa eno število več. Na levi in desni strani sta vedno števili , na sredini pa seštevek dveh števil nad iskanim številom v zgornji vrstici. Oglejte si ga:

(pascalov_trikotnik.png)
Pascalov trikotnik

Poznamo že kvadrat in kub dvočlenika: in . Če si ogledamo koeficiente pred spremenljivkami ugotovimo, da so to ravno koeficienti iz ustrezne vrstice Pascalovega trikotnika.

PREMISLITE

S pomočjo Pascalovega trikotnika izračunajte izraz .

Odgovor

Izraz

Pri računanju izraza si pomagamo s 5. vrstico Pascalovega trikotnika: 1 4 6 4 1:

Zgledi

Razcep kvadratnega tričlenika

Radi bi razcepili kvadratni tričlenik oblike oblike .

Včasih lahko tričlenik razcepimo kar na pamet, pri tem pa mora veljati:

kjer sta in celi števili.
Dobimo . Tej formuli rečemo Vietovo pravilo.

Zgleda

PREMISLITE

Ali se katerega izmed kvadratnih tričlenikov ne da razstaviti po Vietovem pravilu?

Odgovor

Razcep po Vietovem pravilu

Da, le redke izraze lahko razcepimo z uporabo Vietovega pravila. Vse ostale izraze pa boste lahko razcepili z uporabo drugih formul v kasnejših letnikih. Npr. izraza se ne da razcepiti z uporabo Vietovega pravila, saj velja , vendar ne velja . Ali druga možnost: velja , vendar ne velja .

Potence s celimi eksponenti

Do zdaj smo spoznali že potence z naravnim eksponentom . Za potence s celimi eksponenti pa velja:

Če in ter , velja:

Zgled: Poenostavimo izraz .

Rešitev

Rešitev:

Linearna enačba z eno neznanko

Zapis oziroma imenujemo linearna enačba.

Rešitve linearne enačbe:

  • Za je rešitev linearne enačbe natanko eno realno število: .
  • Za in je enačba identiteta.
  • Za in enačba nima rešitve.

PREMISLITE

Kaj pomeni, če rečemo, da sta enačbi ekvivalentni?

Odgovor

Kakšen je geometrijski pomen rešitve linearne enačbe?

Odgovor

Ekvivalentnost enačb

Dve linearni enačbi, ki imata isto rešitev, imenujemo ekvivalentni linearni enačbi.

Geometrijski pomen

Rešitev linearne enačbe nam pove ničlo linearne funkcije oziroma presečišče premice z abscisno osjo.

Linearna neenačba z eno neznanko

Linearna funkcija je pozitivna, če je in je negativna, če je . Zastavljena pogoja sta linearni neenačbi.

Rešitve linearne neenačbe:

  • Za je rešitev poltrak .
  • Za je rešitev poltrak .
  • Za in je linearna neenačba identiteta.
  • Za in linearna neenačba nima rešitve.
Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

PREMISLITE

Na sliki vidimo, da je funkcija pozitivna na nekem poltraku, negativna pa na dopolnilnem poltraku. Kaj je izhodišče poltrakov?

Odgovor

Kaj bi bila rešitev sistema dveh linearnih neenačb z dvema neznankama?

Odgovor

Izhodišče obeh poltrakov je ničla funkcije.

Podani imamo dve linearni neenačbi z dvema neznankama in : in . Rešitev sistema predstavimo v ravnini kot presek ustreznih polravnin, ki zadoščata danima neenačbama.

Reševanje linearnih neenačb

Zgled: Rešimo neenačbo .

Rešitev

PREMISLITE

Kdaj se v neenačbi znak neenakosti obrne?

Odgovor

Rešitev:
Najprej pomnožimo celo enačbo s 15 in dobimo:
Prenesemo člene in izrazimo :



Rešitev neenačbe je poltrak oz. zapisano z intervalom .

(poltrak.png)

Znak neenakosti

Če neenačbo množimo ali delimo z , se nam znak neenakosti obrne.

Sistem linearnih enačb

Če imamo podani dve linearni enačbi z dvema neznankama, pravimo, da imamo podan sistem dveh linearnih enačb: in . Rešitev sistema je tak par števil , ki zadošča obema enačbama.

Geometrijski pomen sistema linearnih enačb:

  • Če ima sistem natanko eno rešitev, potem je rešitev točka, v kateri imata dani funkciji presečišče (Slika 1).
  • Če ima sistem neskončno mnogo rešitev, potem dani funkciji sovpadata (Slika 2).
  • Če sistem nima rešitve, potem sta dani funkciji vzporednici (Slika 3).
(sistem_11.png)
Slika 1
(sistem_21.png)
Slika 2
(sistem_31.png)
Slika 3

Reševanje sistema linearnih enačb

Zgled: Dani sta funkciji in .
a) Izračunajte presečišče premic.
b) V ravnini poiščite množico točk , za katere velja in .

Rešitev

Rešitev:
a) V sistemu enačb imamo dve linearni enačbi z dvema neznankama: in .
Izenačimo:



Vstavimo v eno izmed enačb in izračunamo :
Dobimo presečišče premic v točki .

b) Narišemo grafa danih funkcij in označimo presek polravnin, ki ustrezajo danim neenačbam.

(polravnina.png)

Fizikalna naloga

Motorist se odpravi iz Ljubljane v Celje in nato naprej v Maribor. Razdalja med Ljubljano in Celjem je km. Od Celja do Maribora vozi min s hitrostjo km/h. Kolikšno pot je prevozil motorist?

Rešitev

Rešitev:
V fiziki pot zapišemo kot . V našem primeru bomo pot od Ljubljane do Celja označili z , pot od Celja do Maribora pa z . Skupaj lahko zapišemo enačbo: .
km km/h h km.

Odgovor: Motorist je od Ljubljane do Maribora prevozil km.

Tekstne naloge

Če želimo reševati probleme iz vsakdanjega življenja, jih moramo najprej prevesti v matematični jezik. Pred tem pa moramo vedeti tole:

  • Količini in sta premosorazmerni, če je njun količnik stalen oziroma .
  • Količini in sta obratnosorazmerni, če je njun produkt stalen oziroma .
  • Pri nalogah se vprašamo, kaj je neznanka, katere podatke imamo in kakšni so pogoji.
  • Poskusimo poiskati zvezo med podatki in neznanko - napišemo enačbo.
  • Rešimo enačbo.
  • Preverimo rešitev. Včasih lahko to storimo na pamet, včasih računsko.

Zgled

Prvi bager bi skopal luknjo za veliko stavbo v 8 dneh, drugi pa v 4 dneh. Koliko časa bi trajalo, da bi oba skupaj kopala?

Rešitev

Rešitev:

0%
0%