| Realna števila so lahko racionalna ali iracionalna. Racionalna števila zapišemo z ulomki, za iracionalna števila pa uporabljamo približke. |
Pojem realnega števila
Pojem realnega števila
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Ponovi
S pomočjo naslednjih trditev ponovi nekaj pomembnih dejstev za nadaljevanje te snovi. Če boš napačno odgovoril, se bo izpisala pravilna trditev.
1. Število, ki ima končno število decimalk, lahko zapišemo z ulomkom.
Pravilno
Odlično! Končna decimalna števila so racionalna števila.
Napačno
To pa ne bo držalo! Končna decimalna števila so racionalna števila.
Ponovi
2. Če ima število neskončno decimalk, ki se periodično ponavljajo, ga ne moremo zapisati z ulomkom.
Pravilno
Odlično! Neskončno periodično decimalno število je racionalno število.
Napačno
To pa ne bo držalo! Neskončno periodično decimalno število je racionalno število.
Ponovi
3. Število lahko zapišemo z ulomkom.
Pravilno
Odlično! Število ima neskončno decimalk, ki se ne ponavljajo po nobenem vzorcu.
Napačno
To pa ne bo držalo! Število ima neskončno decimalk, ki se ne ponavljajo po nobenem vzorcu.
Ponovi
4. Število ima več decimalnih približkov.
Pravilno
Odlično! Recimo: ...
Napačno
To pa ne bo držalo! Recimo: ...
Ponovi
5. Iracionalna števila so neskončna neperiodična decimalna števila.
Pravilno
Napačno
Periodičnost
Realna števila zapišemo z zapisom, v katerem lahko decimalni vejici sledi neskončno zaporedje števk:
- ...
- ...
Pri zgornjih dveh številih je zaporedje števk neperiodično. Poznaš tudi primere, ko se števke za vejico periodično ponavljajo:
- ...
- ...
- ...
Takšna števila lahko zapišemo z ulomki. V decimalnem zapisu se lahko od nekega mesta naprej pojavljajo same ničle:
- ...
- ...
- ...
Ta zapis je končen, zato ničel ne pišemo. Tudi ta števila lahko zapišemo z ulomki.
Razmisli
Ali držijo naslednje trditve?
1. Ulomka in predstavljata isto racionalno število.
Pravilno
Odlično! Ulomka predstavljata isto število, saj lahko prvega okrajšamo s 4.
Napačno
Odlično! Ulomka predstavljata isto število, saj lahko prvega okrajšamo s 4.
Razmisli
2. Zapisa in ne predstavljata istega racionalnega števila.
Pravilno
Napačno
Razmisli
3. Število lahko zapišemo kot .
Pravilno
Napačno
Razmisli
4. Vsako realno število je tudi racionalno število.
Pravilno
Odlično! Vsako racionalno število je tudi realno število.
Napačno
To pa ne bo držalo! Vsako racionalno število je tudi realno število.
Razmisli
5. Vsako racionalno število je tudi realno število.
Pravilno
Napačno
Realna števila in decimalni zapis
Ulomki , ali predstavljajo število Seveda lahko najdemo še več ulomkov za to število:
Tudi število lahko zapišemo z različnimi ulomki: in podobno.
Lahko pa ga na več načinov zapišemo z decimalkami:
- ,
- ,
- ,
- .
Prva dva zapisa imata končno število decimalk, zadnja dva pa neskončno.
Realna števila in decimalni zapis
Bi znal dokazati, da je število res enako ?
Recimo, da je . Izračunajmo Pomnožimo enakost z
,
.
V obeh enakostih imamo za decimalno vejico popolnoma enake števke. Zato pri odštevanju ta del odpade. Od prve odštejemo neko drugo enakost:
Izrazimo:
Racionalno število ima v zapisu z ulomki ali decimalnem zapisu več predstavnikov .
Podobno je pri realnih številih. Isto realno število, ki je končno ali neskončno, ima v decimalnem zapisu več predstavnikov.
Realna števila in decimalni zapis
Primer
Število ima več predstavnikov v decimalnem zapisu. Recimo:
Takoj je jasno, da sta prvi in drugi predstavnik enaka. Kaj pa tretji? Poskusi pokazati sam.
Število je periodično decimalno število, zato ga lahko zapišemo z ulomkom.
Recimo, da je . Izračunajmo Pomnožimo enakost z da perioda stoji takoj za vejico. Nato pa še enkrat z
V obeh enakostih imamo za decimalno vejico popolnoma enake števke. Zato pri odštevanju ta del odpade. Od prve enakosti odštejemo neko drugo:
Izrazimo:
Število pi
Število pi je konstanta, ki je razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. Označimo jo s Število je iracionalno, saj ga ne moremo zapisati z ulomkom, čeprav so se skozi zgodovino uporabljali različni približki.
Ponavadi za števili uporabljamo Ludolfov približek Zelo redko se uporablja Arhimedov približek Kalkulator nam izpiše približek
Še dva približka
Babilonci so kot približek za uporabljali .
Do števila so prišli iz razmerja med obsegom pravilnega 6-kotnika in obsegom očrtane krožnice temu 6-kotniku.
Še dva približka
Razlaga:
Obseg pravilnega 6-kotnika meri obseg očrtane krožnice pa kjer je polmer krožnice oziroma dolžina stranice šestkotnika.
Primerjajmo števili razmerja z njunim približkom. Dobimo: Levi ulomek krajšamo z desnega pa s
Če izrazimo, dobimo približek
Egipčanski približek
Približek za so poznali tudi že Egipčani, ki so ploščino kroga računali na povsem svoj način. Za ploščino kroga so uporabili njegov premer. Predvidevali so, da je ploščina kroga kvadrat osmih devetin premera:
Izračunaj njihov približek in rezultat zaokroži na dve decimalni mesti natančno.
.
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Namig: Obrazec za ploščino je:
Ploščina po egipčansko:
Rešitev
Obrazec za ploščino je:
Ploščina po egipčansko:
Pi kot obseg
Na spodnjem apletu je prikazano, kako dobimo število iz razmerja med obsegom kroga in premerom. Na apletu je krog s premerom Ko celoten krog zakotališ po številski premici, dobiš število saj je obseg kroga enak
Zakotali krog s premikanjem točke na drsniku levo-desno.
Pi kot ploščina
Število pa lahko dobimo tudi iz razmerja med ploščino kroga in kvadrata, ki ima za rob polmer kroga. Spomnimo se, da ploščino kroga izračunamo s formulo
S premikanjem točke na krožnici spreminjaj izsek kroga. Rdeča pika prikazuje razmerje ploščine izseka in zelenega kvadrata. Ko izsek zavzame celoten krog, rdeča pika prikazuje vrednost
Še nekaj o potencah - primeri
Za zaključek realnih števil poglejmo, ali znamo izračunati poljubno potenco. Ali je osnova potence lahko poljubno realno število? Kaj pa eksponent? Izkaže se, da tako osnova kot eksponent potence ne moreta biti poljubni števili.
S kalkulatorjem izračunaj naslednje račune. Rezultat zaokroži na 6 decimalnih mest natančno.
1. .
2. .
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi. Nekje si se zmotil.
