Kvadrat dvočlenika
Kub dvočlenika
Primeri:
Naravna in cela števila - razstavljanje ( kopija )
Naravna in cela števila - razstavljanje ( kopija )
Skupina NAUK
Vpeljava celih števil, poznavanje računskih operacij in njihovih lastnosti, grafična predstavitev le-teh, predstavitev desetiškega zapisa celega števila, kriterijev za deljivost, največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika števil, uporaba osnovnega izreka o deljenju.
Izrazi
Zgledi
Razcep kvadratnega tričlenika
Radi bi razcepili kvadratni tričlenik oblike oblike .
Včasih lahko tričlenik razcepimo kar na pamet, pri tem pa mora veljati:
kjer sta in celi števili.
Dobimo . Tej formuli rečemo Vietovo pravilo.
PREMISLITE
Ali se katerega izmed kvadratnih tričlenikov ne da razstaviti po Vietovem pravilu?
Razcep po Vietovem pravilu
Da, le redke izraze lahko razcepimo z uporabo Vietovega pravila. Vse ostale izraze pa boste lahko razcepili z uporabo drugih formul v kasnejših letnikih. Npr. izraza se ne da razcepiti z uporabo Vietovega pravila, saj velja , vendar ne velja . Ali druga možnost: velja , vendar ne velja .
Deljivost v množici naravnih števil
Za rojstni dan smo dobili 14 bonbonov, ki jih želimo razdeliti med prijatelje:
- 14 prijateljev lahko obdarimo z 1 bonbonom.
- 7 prijateljev lahko obdarimo z 2 bonbonoma.
- 2 prijatelja lahko obdarimo s 7 bonboni.
- 1 prijatelja lahko obdarimo s 14 bonboni.
Dobili smo tudi 7 čokolad, ki jih želimo pravično razdeliti. Tu imamo le dve možnosti: da en prijatelj dobi vseh 7 čokolad ali da 7 prijateljev dobi po 1 čokolado.
Lahko bi rekli tudi drugače: število 7 ima le dva delitelja, to sta 1 in 7, število 14 pa več, to so 1, 2, 7 in 14.
- Naravno število deli število , če lahko zapišemo v obliki . natako tedaj, ko velja .
- Naravno število je sodo takrat, ko se ga da zapisati v obliki , kjer je naravno število.
- Naravno število je liho takrat, ko se ga da zapisati v obliki ali , kjer je naravno število.
Vsota dveh sodih in dveh lihih števil
Naj bosta in dve sodi števili. Njuna vsota je enaka , kar je spet sodo število.
Naj bosta in dve lihi števili. Njuna vsota je enaka ali , kar pa je sodo število.
Vsota sodega in lihega števila
Naj bo sodo in liho število. Njuna vsota je enaka , kar je liho število.
Produkt dveh lihih števil
Naj bosta in dve lihi števili. Njun produkt je enak , kar je liho število.
Produkt z enim sodim faktorjem
Naj bo število sodo. Če zmnožimo števili in , dobimo , kar je res sodo število.
Desetiški zapis števil
Oglejmo si število 2476. To število je sestavljeno iz enic, desetic, stotic in tisočic. Lahko zapišemo tudi kot 6E 7D 4S 2T. To pa so ravno potence števila 10. Lahko pa to število zapišemo tudi drugače:
Naj bo neko naravno število. Desetiški zapis tega števila je
kjer so števke od 0 do 9.
Zapišimo število 2476 v desetiškem zapisu: .
Zapis števil in sistemi
Za zapis števil uporabljamo arabske številke. Številski sistem je sistem, v katerem so urejena števila. Najbolj uporabljan je desetiški številski sestav, ki izhaja najverjetneje iz tega, da imamo ljudje 10 prstov. Na posameznih področjih pa se uporabljajo tudi sistemi z drugo osnovo.
Kriteriji za deljivost
S katerimi števili od 2 do 10 je deljivo število 254782222445425423? Ker bi bilo preverjanje tega s kalkulatorjem ali pisnim deljenjem na pamet prezamudno, lahko to storimo s pomočjo kriterijev za deljivost:
| Število je deljivo s/z | če |
| 2, | je zadnja števka soda. |
| 5, | je zadnja števka 0 ali 5. |
| 10, | je zadnja števka 0. |
| 4, | je dvoštevilski konec deljiv s 4. |
| 8, | je dvoštevilski konec deljiv z 8. |
| 25, | je dvoštevilski konec deljiv s 25. |
| 100, | sta zadnji dve števki 0. |
| 3, | je vsota njegovih števk deljiva s 3. |
| 9, | je vsota njegovih števk deljiva z 9. |
| 11, | je alternirajoča vsota njegovih števk deljiva z 11. |
| 6, | je deljivo hkrati z 2 in s 3. |
Kriterij za deljivost z 2
Če imamo število 24568, ga lahko zapišemo kot . Ker so števila 10, 100, 1000, 10000 vsa deljiva z 2, jo lahko izpostavimo in dobimo . Dobili smo število, ki je deljivo z 2 in enice. Torej je število deljivo z 2 takrat, ko so njegove enice deljive z 2. To pa je v primeru, ko so enice 0, 2, 4, 6 ali 8. Število 24568 je deljivo z 2. Na podoben način dobimo kriterije za deljivost z ostalimi števili.
Vaja
Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9. Vsota števk števila 52a6a6 je enaka . Ker mora biti to število deljivo z 9, lahko zapišemo tudi . Če je , dobimo in . Če je , dobimo in . Ker pa je števka, je to lahko le število 4. Zato je iskano število 524646.
Praštevila in sestavljena števila
Glede na število deliteljev lahko števila razdelimo v skupine:
- Število 1, ki ima samo enega delitelja, samega sebe.
- Števila, ki imajo natanko dva delitelja, samega sebe in število 1. To so praštevila.
- Števila, ki imajo več kot dva delitelja. To so sestavljena števila.
Osnovni izrek:
Vsako naravno število lahko zapišemo na natanko en način, in sicer kot produkt samih praštevil, pri čemer lahko posamezno praštevilo nastopi večkrat.
Sestavljeno število ali ne
Izraz lahko zapišemo kot . Če za vzamemo najmanjše naravno število 1, je , za poljuben pa je , zato je število sestavljeno.
Osnovni izrek o deljenju
Naj bosta in naravni števili in . Potem obstajata natanko določeni nenegativni celi števili in , tako da velja:
.
... deljenec
... delitelj
... količnik ali kvocient
... ostanek
Primer:
Ostanek pri deljenju
Pri deljenju s številom 4 lahko dobimo ostanek 0, 1, 2 ali 3. Primeri:
44 : 4 = 11, ostanek 0
45 : 4 = 11, ostanek 1
46 : 4 = 11, ostanek 2
47 : 4 = 11, ostanek 3
48 : 4 = 12, ostanek 0
...
Osnovni izrek o deljenju
Osnovni izrek o deljenju pravi, da je . Z našimi podatki pa dobimo . To število je 126.
Največji skupni delitelj
Imamo števili 20 in 24.
- Delitelji števila 20: .
- Delitelji števila 24: .
- Skupni delitelji: .
- Največji skupni delitelj: 4.
Največji skupni delitelj dveh števil in je tako največje naravno število, ki hkrati deli in .
Postopek:
- Dana števila razcepimo na prafaktorje.
- Največji skupni delitelj dveh ali več števil je produkt prafaktorjev, ki so skupni vsem razcepom.
- Pri posameznem prafaktorju vzamemo najmanjšega od eksponentov.
Če za dve naravni števili velja, da je njun največji skupni delitelj enak 1, potem pravimo, da sta si števili tuji.
Največji skupni delitelj dveh praštevil
Ker dve praštevili nimata skupnega prafaktorja in je edini skupni delitelj število 1, je to tudi njun največji skupni delitelj. Torej sta si dve praštevili tuji.
Zgled
Poiščimo največji skupni delitelj števil 120, 144 in 180.
- Razcepimo števila na prafaktorje:
| 
| 
|
Za največji skupni delitelj vzamemo tista praštevila, ki so skupna vsem trem razcepom, in pri posameznih številih najmanjšega od eksponentov. Skupni sta števili 2 in 5 z eksponentoma 1.
Najmanjši skupni večkratnik
Imamo števila 24, 56 in 84.
- Večkratniki števila 24: .
- Večkratniki števila 56: .
- Večkratniki števila 84: .
- Skupni večkratniki: .
- Najmanjši skupni večkratnik: 168.
Najmanjši skupni večkratnik dveh števil in je tako najmanjše naravno število, ki je hkrati deljivo z in z .
Postopek:
- Dana števila razcepimo na prafaktorje.
- Najmanjši skupni večkratnik dveh ali več števil je produkt prafaktorjev.
- Pri posameznem prafaktorju vzamemo največjega od eksponentov.
Velja trditev
Zgled
Poiščimo najmanjši skupni večkratnik števil 150, 240 in 686.
- Razcepimo števila na prafaktorje:
| 
| 
|
Za najmanjši skupni večkratnik vzamemo tista praštevila, ki nastopajo v vseh treh razcepih in pri posameznih številih največjega od eksponentov. To so torej števila 2, 3, 5 in 7. Pri številu 2 je največji eksponent 4, pri številu 3 1, pri številu 5 je to število 2, pri številu 7 pa 3.
Evklidov algoritem
Evklidov algoritem je drug način za iskanje največjega skupnega delitelja dveh števil. Pri tem postopku uporabljamo osnovni izrek o deljenju. Naredimo kar primer na številih 725 in 75:
Prvo število zapišemo kot produkt drugega števila z nekim drugim številom plus ostanek. Potem delitelj postane deljenec, prejšnji ostanek pa delitelj. Postopek se v končno mnogo korakih konča. Največji skupni delitelj števil je zadnji od 0 različen ostanek pri deljenju v Evklidovem algoritmu.
