Linearna funkcija je podana s predpisom , kjer sta in poljubni realni števili.

V tem gadivu bomo večkrat delali z aktivnimi slikami. Na spodnji sliki je za začetek narisan graf funkcije . V spodnjo vrstico lahko vneseš za in poljubni števili.

Klikni v prazen prostor (za oznako Vnos:) in zapiši , vnos potrdi z enter, nato pa še (enter). Z vsakim vnosom se ti nariše graf funkcije z ustreznima vrednostma. Malo eksperimentiraj in vnesi nekaj poljubnih vrednosti za in . Vnašaš lahko tudi ulomke (s poševno črto npr. ), če pa se odločiš za decimalna števila, uporabi za decimalno ločilo piko.

Opazuj nastale grafe.

Oglejmo si najprej nekaj posebnih primerov.

Vnesi v sliko in . Kaj je v tem primeru graf?

Vnesi , nato pa nekaj poljubnih -jev. Kaj imajo grafi v tem primeru skupnega?

Vnesi in . Ali ima graf kakšno posebno lastnost?

Še zadnja: , . Ali ima graf kakšno posebno lastnost?

Dokaz: Izberimo si tri poljubne vrednosti neodvisne spremenljivke , in in pri teh izračunajmo vrednosti funkcije.

Sedaj pa izračunajmo ploščino trikotnika, ki ima oglišča v teh treh točkah.

Krajši račun nam pokaže, da se vsi členi odštejejo. Torej je ploščina trikotnika, ki ima oglišča na grafu linearne funkcije, vedno enaka . To pa je mogoče le, če ležijo vse točke grafa na isti premici.

Vnesi v aktivno sliko in nekaj poljubnih -jev. Kaj je skupnega vsem dobljenim grafom?

Dokaz: Vstavimo v predpis .

Torej točka res pripada grafu funkcije.

Vstavi v najprej poljubno vrednost , nato še , izračunaj ustrezna ipsilona in njuno razliko.

Preveri rezultate

Opazuj, kako se spreminja smer premice, če spreminjaš smerni koeficient (premikaš lahko točko na drsniku desno zgoraj).

Oglejmo si še, kako poiščemo , če poznamo koordinati dveh točk, ki pripadata grafu linearne funkcije.

Recimo da sta to točki in . Vstavimo njuni koordinati v predpis grafa funkcije

odštejemo

in dobimo

Poišči smerni koeficient premice, ki poteka skozi točki in .

Rešitev:

Kdaj je linearna funkcija naraščajoča in kdaj padajoča, se verjetno spomniš še iz osnovne šole. Če pa si slučajno pozabil, se lahko malo poigraš s -jem na sliki in najbrž ti bo padlo na pamet.

Ker nam pri matematiki ponavadi ne zadošča samo grafična "očitnost", si oglejmo tudi matematični dokaz tega dejstva.

Dokaz: Funkcija narašča, če večjemu pripada večji : če je , potem je tudi . V tem primeru torej velja in , zato je tudi ulomek

pozitiven, saj sta njegov števec in imenovalec istega predznaka.

Funkcija pada, če večjemu pripada manjši , z znaki iz sledi oziroma in .

Števec in imenovalec ulomka

sta v tem primeru nasprotnega predznaka in ulomek je negativen.

Kako bi poiskali predpis grafa linearne funkcije, če poznamo koordinate dveh točk in na grafu?

Znamo že poiskati smerni koeficient

Če je poljubna točka, ki leži na grafu funkcije, pa velja tudi

Samo še pomnožimo z imenovalcem in dobimo

Poiščimo linearno funkcijo, če poteka njen graf skozi točki in .

Najprej izračunajmo

nato pa ta rezultat in koordinate ene od točk vstavimo v . preuredimo v .

Točki torej pripadata grafu linearne funkcije .

Še v tretje ista slika. Tokrat vstavi opis, nato pa nekaj poljubnih -jev. Opazuj nastale grafe. Kaj jim je skupnega?

Če opazujemo oba pravokotna trikotnika na zgornji sliki, lahko vidimo, da imata skladni kateti (vodoravna je dolga ravno enoto, dolžina navpične pa je enaka absolutni vrednosti smernega koeficienta) in se ujemata tudi v pravem kotu. Torej sta trikotnika skladna.

Poleg tega sta kateti paroma vzporedni, zato sta vzporedni tudi hipotenuzi in njuni nosilki, prav to pa sta naši premici.

V snopu premic, ki imajo smerni koeficient , poišči tisto, ki ima pri vrednost .

Preveri

Šop premic skozi točko zapišemo s predpisom . Za vsak dobimo drugo premico iz šopa.

V šopu premic skozi točko določi tisto, ki ima začetno vrednost .

Preveri

Razmisli

• Ali ima vsaka linearna funkcija ničlo?
• Koliko ničel lahko ima?
• Kako opaziš ničlo na grafu funkcije?

Odgovori

Ničlo poiščemo tako, da rešimo enačbo , ki pa je seveda ne moremo rešiti, če je .

Poišči ničle naslednjih funkcij – rezultate zapiši v prazne prostore, ulomke piši s poševno črto, brez presledkov.

• ima ničlo
• ima ničlo
• ima ničlo
• ima ničlo

Nasvet

Katere od spodaj podanih funkcij so naraščajoče, katere pa padajoče?

Preveri

Poišči funkcije, katerih grafi potekajo skozi dane točke.

Preveri

Nariši v istem koordinatnem sistemu grafe funkcij!

Počisti

Preveri

Funkcijam določi začetno vrednost in ničlo ter na papir nariši njihove grafe.

Preveri

Zapiši linearno funkcijo, ki ima začetno vrednost , za pa vrednost .

Preveri

Poišči linearno funkcijo, katere graf je vzporeden premici in poteka skozi točko .

Preveri

V šopu premic skozi točko poišči tisto, ki je vzporedna premici .

Preveri