• Dana je družina kubičnih polinomov = a x^3 + b x^2 + c x + d

• Zanimajo nas značilne točke tega polinoma:

  • Ničle (realne)
  • Ekstremne točke
  • Prevoji

• Vnos polinoma:
• Določimo parametre
• a, b, c, d
• Vnos kot drsnike

• Vnos polinoma

  • p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d

• ničle = Root[p]

  • ali po slovensko: ničle = Ničla[p]
  • Dobimo več ničel
  • ki se avtomatsko označijo na sliki
  • in prikažejo v algebrskem oknu

• Prevojne točke

  • prevoj = InflectionPoint[p]
  • prevoj = prevojnaTočka[p]

• Denimo, da polinom spremenimo – recimo da dodamo še x^4
• GeoGebra sicer opazi, da smo prej računali ničle, ekstreme in prevoje, a jih poimenuje po svoje

• Konstruirajmo kubični polinom, ki ima ničle , ,
• Prikaz v "razširjeni obliki"

• Polinom[p(x)]

  • pol(x) = Polinom[2*(x-1)(x-3)]
• Pozor:
• Drugače GeoGebra misli, da je a funkcija (tudi če obstaja število a)

• Potenčna vrsta

• Aproksimacija funkcije s polinomom

• Ukaz:

  • TaylorjevaVrsta[f, a, n]

    • razvoj funkcije f v potenčno vrsto okrog točke x = a reda n
    • TaylorPolynomial[f, a, n]

• cos(2 sin(x)) aproksimiramo s TP
• Stopnja z drsnikom

Vpliva tudi na ukaze

• Prikaz sledenja točke

  • Kaj se dogaja s točko, ko jo premikamo

    • Cikloida
    • Odvod
    • Zaporedje
• Vidnost s pomočjo izbirnika

• Dana je parabola
• Radi bi prikazali, kako se spreminja ploščina pravokotnika, ki ima rob na koordinatni osi x in maksimalno višino znotraj parabole.

• Ploščina je že vrednost mnogokotnika!
• S spreminjanjem A se spreminja pravokotnik in s tem njegova ploščina
• Kako prikazati?
• Prikažimo točko, katere x-koordinata je dolžina stranice in y koordinata vrednost ploščine (/4, da bo na zaslonu)
• T = (a_1,mnogokotnik1/3)

• S premikanjem A se spreminja lega T
• Točke pri premikanju lahko za sabo puščajo sled:

cycloid_trochoid.ggb

• Oglej si:

  • Kako narišemo krivuljo
  • Pojem pomožnega objekta
  • Definiranje krožnice s premikom
  • Kako dosežemo, da ob klikanju ne moremo pomotoma premakniti objekta …

DoloceniIntegralSSledenjem.ggb

• Funkcija[funkcija f, število a, število b]

  • funkcija, definirana s predpisom f na intervalu [a, b] zunaj intervala [a, b] pa ni definirana.
  • V definiciji funkcije lahko uporabimo tudi ukaz If

  • Primer:

    • f(x) = If[x < 3, sin(x), x^2]
    • sin(x) za x < 3 in
    • za .

• Odvod[funkcija f]

  • Odvod funkcije f(x)
  • namesto Odvod[f] lahko f’(x)

• Odvod[funkcija f, število n]

  • n-ti odvod funkcije f(x)
  • f’’(x) namesto Odvod[f, 2]

• Integral[funkcija f]

  • nedoločeni integral funkcije f(x)

• Integral[funkcija f, število a, število b]:

  • določeni integral funkcije f(x) od a do b.
  • ta ukaz tudi obarva lik med grafom funkcije f in x-osjo.

• Integral[funkcija f, funkcija g, število a, število b]:

  • določeni integral razlike funkcij f(x) - g(x) od a do b.
  • ukaz tudi obarva lik med grafoma funkcij f in g.

• SpodnjaVsota[funkcija f, število a, število b, število n]:

  • spodnja Riemannova vsota funkcije f na intervalu [a, b] z n pravokotniki.
  • ukaz izriše tudi izbrano število pravokotnikov.
  • ZgornjaVsota[funkcija f, število a, število b, število n]:
  • zgornja Riemannova vsota funkcije f na intervalu [a, b] z n pravokotniki.
  • ukaz izriše tudi izbrano število pravokotnikov.

RiemanoveVsoteOsnovno.ggb

• Zaporedje[izraz e, spremenljivka, število a, število b]:

  • Seznam objektov, ki jih dobimo z izračunom izraza e, če spremenljivko spreminjamo od a do b s korakom 1.
  • Primer: L = Zaporedje[(2, i), i, 1, 5] sestavi seznam točk (2, y), katerih y-koordinate zavzemajo vrednosti od 1 do 5

• Zaporedje[izraz e, spremenljivka i, število a, število b, število s]:

  • Seznam objektov, ki jih dobimo z izračunom izraza e, če spremenljivko (števec) spreminjamo od a do b s korakom velikosti s. Primer: L = Zaporedje[(2, i), i, 1, 5, 0.5] sestavi seznam točk katerih y-koordinate segajo od 1 do 5 s korakom velikosti 0.5.
• Element[seznam L, število n]: n-ti element seznama L
• Dolžina[seznam L]: Dolžina seznama L
• Min[seznam L]: Najmanjši element seznama L
• Maks[seznam L]: Največji seznama L

• S pomočjo zaporedij konstruirajmo "naše" Riemannove vsote.

• Oglej si

  • RiemannSumMM.ggb

RiemanoveVsoteAngl.ggb