Opazili smo že, da aritmetična sredina ne poda celovite informacije o naboru podatkov. Če bi imeli še informacijo o razpršenosti, bi bila slika že popolnejša. Najprej o razpršenosti razmišljajmo na intuitivni ravni, v nadaljevanju pa bomo mero zanjo natančno definirali.

Če v obravnavanem primeru treh naborov podatkov izračunamo odklon, ki ga ima vsak od podatkov v naboru (označimo ga z ) od aritmetične sredine (oznaka , v našem primeru ), dobimo naslednje tri tabele:

To so odmiki od srednje vrednosti. Prva misel bi bila, da bi razpršenost izmerili tako, da bi te odmike sešteli.
Kolikšno vsoto dobimo v vsakem od primerov, če to zares storimo?

Izkaže se, da ta lastnost ne velja le za naše nabore treh podatkov z aritmetično sredino 8, pač pa tudi splošneje, za vsak nabor podatkov. Vsota vseh odmikov od aritmetične sredine je vedno enaka 0.

To se zgodi zato, ker imamo pozitivne in negativne odmike, katerih vpliv se na koncu izniči.

Da bi odštevanje pozitivnih in negativnih odmikov preprečili, te odmike kvadriramo. Zdaj so vsi prispevki pozitivni, zato do izničenja ne pride več. Povprečen kvadrat odmika imenujemo varianca in to bo naša mera za razpršenost podatkov.

Izračunaj varianco naborov podatkov 0, 0, 24; 8, 8, 8 in 5, 8, 11.

Pomoč: tri tabele in namig

Rezultat:

• prvi nabor:
• drugi nabor:
• tretji nabor:

Preveri

Na testu iz matematike so dijaki od možnih 40 dosegli naslednje število točk:

10, 12, 15, 18, 19, 23, 24, 24, 25, 27, 27, 30, 32, 34, 34, 35, 36, 38, 40, 40.

Izračunaj aritmetično sredino in varianco tega nabora podatkov.

Rezultat:

• Aritmetična sredina:
• Varianca:

Preveri

Še bolj kot varianca nas bo zanimal kvadratni koren iz variance, ki ga imenujemo standardni odklon.

Izračunaj standardne odklone iz spodnjih dveh primerov.

• Izračunaj standardni odklon naborov podatkov 0, 0, 24; 8, 8, 8 in 5, 8, 11. Rešitev:
  

• Na testu iz matematike so dijaki od možnih 40 dosegli naslednje število točk:
  10, 12, 15, 18, 19, 23, 24, 24, 25, 27, 27, 30, 32, 34, 34, 35, 36, 38, 40, 40.
  Izračunaj standardni odklon tega nabora: .

Preveri

Če imamo veliko podatkov, je računanje standardnega odklona zamudno. V tem primeru si pomagamo s katerim od računalniških programov. Na sliki pod spodnjim gumbom vidimo, kako je s standardnim odklonom pri 2. nalogi opravil program Excel. V tem programu standardni odklon po naši formuli izračunamo z ukazom STDEVP (standardna deviacija na populaciji), v oklepaju pa navedemo, v katerih poljih so zapisani podatki iz našega nabora.

Kot vidimo, z uporabo računalnika standardnega odklona nabora podatkov ni težko izračunati, tudi če je nabor kar zajeten. Zato se v nadaljevanju ne bomo več ukvarjali z računanjem, pač pa bomo poskusili zaslutiti, kaj na ta podatek sporoča.

V spodnji tabeli so vpisani podatki o povprečnih najvišjih dnevnih temperaturah v mesecih januarju, aprilu, juliju in oktobru v petih različnih krajih na svetu. Podatki so pridobljeni s spletnih strani Agencije za okolje RS in spletne strani infoplease.com.

Za vsak kraj posebej izračunamo aritmetično sredino nabora štirih podatkov in standardni odklon tega nabora. Večina podatkov je že vnešenih, manjkajoče pa izračunaj in vstavi (pomagaš si lahko npr. z Excelom). Rezultate zaokroži na dve decimalki.

Ugotovi pravilnost naslednjih izjav. Pri tem si pomagaj z rešeno tabelo iz prejšnje naloge.

• Najmanjši standardni odklon opazimo pri Acapulcu, drugi najmanjši pa pri Nairobiju.

  Pravilno

  Nepravilno

• Zgornje dejstvo pomeni, da so temperature v Acapulcu in Nairobiju med vsemi navedenimi mesti v povprečju najnižje.

  Pravilno

  Nepravilno

• Standardi odklon za Ljubljano je manjši od tistega v Moskvi, kar kaže na to, da temperature v Moskvi skozi leto bolj nihajo kot temperature v Ljubljani.

  Pravilno

  Nepravilno

Na podlagi izkušnje s tem primerom, pa tudi razmislekov v teku same vpeljave standardnega odklona, lahko zaključimo naslednje:

Tako npr. podatka iz zgornjega primera za Atene (21,50; 7,23) in Nairobi (23,75; 1,64) sporočata, da sta povprečni temperaturi v mestih sorazmerno podobni, da pa v Atenah lahko pričakujemo tudi bistveno drugačne temperature od povprečne; v Nairobiju pa bi bila bistveno drugačna temperatura večje presenečenje.

Določi aritmetično sredino in standardni odklon naslednjih naborov podatkov. Rezultate zaokrožuj na tri decimalke.

• 1,1,1,2,3,4,5,6:
  Aritmetična sredina:
  Standardni odklon:
• 1,3,5,7,8,9,9:
  Aritmetična sredina:
  Standardni odklon:

Preveri

Spodnji nabori podatkov prinašajo število golov, ki so jih po 20 krogih tek- movanja dosegle ekipe v španski, italijanski, angleški in slovenski nogometni ligi.

Izračunaj aritmetične sredine in standardne odklone teh naborov. Rezultate zaokrožuj na dve decimalki.

Pomagaš si lahko tudi s katerim od računalniških programov, recimo s programom Excel. Aritmetično sredino izračunamo z ukazom AVERAGE, standardni odklon pa z ukazom STDEVP. Kako ju prikličeš, lahko vidiš na sliki v gradivu. Najdeš jo na prosojnici z naslovom Računanje z računalnikom.

Preveri