Na aktivni sliki lahko vidiš te dele. Če potegneš drsnik proti desni, se ločijo od krogle.

Geogebra datoteka

Postavimo v isto ravnino tri enako visoka telesa: polkroglo, valj in narobe obrnjen stožec. Polmeri vseh treh teles naj bodo enaki.

Presekajmo ta tri telesa s poljubno ravnino, vzporedno tisti, v kateri ležijo, in izračunajmo ploščine vseh treh presekov.

Na aktivni sliki lahko višino preseka določiš s točko na valju.

Geogebra datoteka

Krog, ki ga dobimo na stožcu, ima polmer enak višini, na kateri je presekan (), krog na polkrogli pa ima polmer .
Hitro lahko ugotovimo, da ima krog na valju ploščino, ki je enaka vsoti ploščin ostalih dveh. S pomočjo Cavalierijevega pravila sklepamo, da je tudi volumen valja enak vsoti volumnov ostalih dveh teles:

Iz tega izpeljemo

Upoštevamo še, da je višina enaka polmeru krogle, pomnožimo z 2 in dobimo

Obrazec za površino bomo izpeljali bolj ohlapno. Povsem korektno izpeljavo bomo srečali v četrtem letniku.

Razdelimo površje krogle na veliko število manjših delov; (lahko si predstavljamo, da narišemo poldnevnike in vzporednike, podobno kot na globusu).

Če oglišča vsake teh ploskev povežemo s središčem krogle, dobimo telesa, ki so skoraj piramide (če je osnovna ploskev zelo majhna, je namreč skoraj ravna).

Volumen cele krogle torej dobimo tako, da seštejemo volumne teh "kvazi" piramid

Za višino vsake piramide vzamemo kar polmer krogle in to iz formule izpostavimo. Ostane nam vsota ploščin vseh "osnovnih" ploskev, ki dajo skupaj površino piramide.

Iz te zveze izpeljemo površino

in

1. naloga

Obseg žoge je 80 cm. Izračunaj njeno površino in prostornino. Pomoč

Odgovor: Površina žoge meri = 2488,3 2037,2 2551,7 2369,6 , prostornina pa = 8000 8513,2 8211,8 8646,1

Preveri

2. naloga

Medeninasta krogla je votla. Njen zunanji polmer meri 10 cm, notranji pa 8 cm. Kolikšna je njena masa, če je gostota medenine 8,6 kg/dm3? Kolikšen polmer bi imela polna krogla z enako maso? Računaj s kalkulatorjem in po možnosti ne zaokrožaj delnih rezultatov, končne rezultate pa zaokroži na dve decimalni mesti.

Odgovor: Volumen dobimo kot razliko volumnov vsoto volumnov produkt volumnov kvocient volumnov zunanje in notranje krogle in je enak 4,22 3,15 2,04 1,78 , masa pa je 15.15 17,54 16.49 18,34 kg. Polna krogla bi imela polmer 8,98 7,87 6,76 5,65 cm.

Preveri

3. naloga

Telo je sestavljeno iz enakostraničnega valja, ki se na obeh straneh končuje s polkroglama z enakim polmerom.

e) Na eno decimalno mesto natančno izračunaj površino in volumen telesa, če je polmer enak 7 cm.

Odgovor: Izračunam, da meri površina danega telesa

njegova prostornina pa

Preveri

4. naloga

Volumen polkrogle je 144 . Kolikšna je njena površina?

Odgovor: Površina polkrogle meri

Preveri

5. naloga

Sladoled smo kupili v posodi, ki ima obliko kvadra z dimenzijami 20 cm, 12 cm in 9 cm. Koliko okroglih kepic s premerom 5 cm lahko naredimo, če lahko porabimo približno 95 % sladoleda v posodi?

Odgovor: Naredimo lahko

Preveri

6. naloga

Koliko procentov volumna kocke zavzema njej včrtana krogla?

Odgovor: Včrtana krogla zavzema

Preveri

7. naloga

V kroglo s polmerom 4 cm včrtamo enakostranični valj. Kolikšna je površina valja?

Odgovor: Površina valja meri

Preveri

8. naloga

Izračunaj površino in volumen krogle s premerom 30 cm. Rezultat izračunaj natančno.

Odgovor: Izračunam, da je površina krogle

volumen pa

Preveri

9. naloga

Kolikšno površino ima krogla, če je njen volumen 972 ? Rezultat izračunaj natančno.

Odgovor: Krogla ima površino

Preveri

10. naloga

Pluča so pri človeku zgrajena iz okrog 600 milijonov pljučnih mešičkov (alveol). Polmer vsakega je okrog 0,1 mm. Kolikšena je njihova skupna površina in kolikšnen njihov volumen? Rezultat smiselno zaokroži.

Odgovor: Izračunam, da je skupna površina pljučnih mešičkov

skupni volumen pa

Preveri

11. naloga

Pri metu krogle uporabljajo moški kroglo z maso 7,26 kg. Kolikšen je njen premer, če je narejena iz jekla z gostoto 7,8 ? Ženske mečejo krogle z maso 4 kg. Kolikšen je premer teh?

Odgovor: Izračunam, da je premer pri moških kroglah = 13 cm 12 cm 11 cm 10 cm 9 cm 8 cm 7 cm in = 12 cm 11 cm 10 cm 9 cm 8 cm 7 cm pri ženskih kroglah.

Preveri

12. naloga

Voščena krogla s polmerom 8 cm je shranjena v pločevinasti škatli v obliki kocke, ki je toliko velika, da ravno ustreza krogli. Vosek se je na vročini stalil. Kako visoko sega v škatli? Rezultat smiselno zaokroži.

Odgovor: Vosek sega

Preveri

13. naloga

Votla aluminijasta krogla ( = 2,7 ) ima zunanji polmer 9 cm in tehta 4,37 kg. Kako debela je njena stena?

Odgovor: Njena stena je debela

Preveri

14. naloga

Čaša ima obliko polkrogle s premerom 6 cm, steklenica pa je valjasta (premer je 8 cm, višina 20 cm). Koliko polnih čaš lahko napolnimo iz te steklenice?

Odgovor: Iz te steklenice lahko napolnimo

Preveri

15. naloga

V polkroglo s polmerom 7 cm včrtamo pravilno šeststrano piramido (osnovna ploskev piramide leži na glavnem krogelnem krogu). Določi površino in prostornino piramide.

Odgovor: Površina piramide meri

prostornina pa

Preveri