Vrtenine

Vrtenine

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Kaj so vrtenine

Rotacijska telesa oz. vrtenine nastanejo z vrtenjem poljubnega lika okrog osi, ki leži v isti ravnini kot lik. Medtem ko se lik vrti, se nam zdi, da določa neko telo v prostoru. Spodnji - ne posebej kakovosten - filmček prikazuje vrtenje pravilnega šestkotnika okrog osi, ki poteka skozi nasprotni dve oglišči.

Če imaš čas, si lahko podobno "igračo" sestaviš sam. Tako si boš nastanek telesa lažje predstavljal.

Pri vrtenju se vsaka točka giblje po krožnici. Daljice, ki so vzporedne osi vrtenja, opisujejo plašč valja, daljice, ki so na os pravokotne, opisujejo krog, druge pa plašč stožca ali prisekanega stožca.

Če moramo računati s telesom, ki pri vrtenju nastane, je pomembno, da narišemo čim lepšo sliko po zgornjih navodilih in telo (vsaj v mislih) opišemo. Poskusi sam narisati skico telesa iz filmčka, skico preveri s klikom na gumb Rešitev.

Za računanje površine seštejemo posamezne ploskve, ki telo omejujejo, pri računanju volumna pa prištejemo ali odštejemo volumne posameznih delov, ki telo sestavljajo.

Rešitev

(6b.png)

Zavtimo kvadrat

Kvadrat s stranico 8 cm zavrtimo za 360º okrog osi, ki poteka skozi razpolovišči dveh nasprotnih stranic, kot prikazuje spodnja animacija. Nastane enakostranični valj. Izračunaj njegovo površino in prostornino.

(logogo3.gif)

Odgovor: Površina valja meri

prostornina pa


Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino valja si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino valja si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina valja meri = 96 , prostornina pa = 128 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Zavtimo pravokotnik

Pravokotnik z osnovnico = 3 cm in višino = 5 cm zavrti okrog osi, ki je vzporedna daljši stranici in od nje oddaljena = 4 cm. Poskusi nastalo telo najprej sam narisati, potem pa na aktivni sliki premakni drsnik proti desni in opazuj, kaj nastane. Če želiš večkrat poskusiti, klikni na gumb za nov začetek (resetiranje) v zgornjem desnem kotu slike.

a)Telo opiši. Pokaži opis telesa
b)Izračunaj površino in volumen danega telesa.
Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa


Preveri

Geogebra datoteka

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 176 , prostornina pa = 165 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Opis telesa

Nastane "cev" – valj, ki ima luknjo v obliki valja. Polmer večjega valja je + , polmer manjšega (luknje) pa , višina obeh valjev je enaka višini pravokotnika.

Telo omejujeta dva krožna kolobarja ter plašča obeh valjev, volumen pa bomo dobili kot razliko volumnov obeh valjev.

Zavrtimo trikotnik

Pravokotni trikotnik s krajšo kateto = 4 cm in kotom ob njej = 70º zavrtimo okrog hipotenuze. Poskusi nastalo telo najprej sam narisati, potem pa na aktivni sliki premakni drsnik proti desni in opazuj, kaj nastane. Če želiš večkrat poskusiti, klikni na gumb za nov začetek (resetiranje) v zgornjem desnem kotu slike.

a)Telo opiši. Pokaži opis telesa
b)Izračunaj površino in volumen danega telesa. Namig
Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa


Preveri

Geogebra datoteka

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 177 , prostornina pa = 173,2 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Opis telesa

Dobimo dvojni stožec. Polmer obeh stožcev je enak , stranici sta enaki katetama trikotnika, višini stožcev sta enaki pravokotnima projekcijama katet na hipotenuzo.

Površino dobimo tako, da seštejemo plašča obeh stožcev, volumen pa je enak vsoti obeh volumnov.

Namig

= = 3.8 cm,
= 11 cm,
= 11.7 cm.

Zavtimo trapez

Trapez z osnovnicama = 13 cm, = 10 cm in = = 4 cm zavrti okrog krajše osnovnice. Poskusi nastalo telo najprej sam narisati, potem pa na aktivni sliki premakni drsnik proti desni in opazuj, kaj nastane. Če želiš večkrat poskusiti, klikni na gumb za nov začetek (resetiranje) v zgornjem desnem kotu slike.

a)Telo opiši. Pokaži opis telesa
b)Izračunaj površino in volumen danega telesa. Namig
Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa


Preveri

Geogebra datoteka

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 140 , prostornina pa = 192 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Opis telesa

Dobimo valj z vdolbino v obliki stožca. Oba polmera sta enaka višini trapeza, višina valja je , višina stožca (), stranica stožca .

Za površino seštejemo osnovno ploskev – krog, plašč valja in plašč stožca, volumen pa je enak razliki med volumnoma valja in stožca.

Namig

= 5 cm

Zavrtimo šestkotnik

In šestkotnik iz začetnega filma? Oglej si njegovo skico znova.

(6b.png)



a)Opiši, katere ploskve omejujejo telo, in izrazi podatke za te ploskve s stranico šestkotnika .Rešitev
b)Izrazi površino telesa z dolžino stranice šestkotnika.Rešitev
c)Izrazi z istim podatkom še prostornino telesa.Rešitev

Telo je omejeno s plaščem valja in plaščema dveh stožcev.

Polmera obeh sta enaka , višina valja je anaka , isto dolžino ima tudi stranica stožca, višina stožca pa je .

Naloge

1. naloga

Pravokotni trikotnik s katetama = 5 cm in = 12 cm zavrti okrog daljše katete za 360°. Izračunaj površino in prostornino vrtenine.

(naloga1.png)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 90 , prostornina pa = 100 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Naloge

2. naloga

Pravokotni trikotnik s katetama = 5 cm in = 12 cm zavrti okrog osi, ki je pravokotna na kateto v oglišču za kot 360°. Izračunaj površino in prostornino vrtenine.

(naloga2.png)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 210 , prostornina pa = 200 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Naloge

3. naloga

Pravilni šestkotnik s stranico = 6 cm zavrti okrog diagonale skozi nasprotni oglišči za kot 180°. Izračunaj površino in prostornino vrtenine.

(naloga3.png)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 72 , prostornina pa = 216 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Naloge

4. naloga

Enakokraki trikotnik s krakom = 4 cm in kotom ob vrhu = 120° zavrti okrog enega kraka za kot 360°. Izračunaj površino in prostornino vrtenine.

(naloga4.png)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 118,92 , prostornina pa = 50,27 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Naloge

5. naloga

Trapez s kotom = 90° in stranicami = 7 cm, = 4 cm, = 3 cm zavrti okrog daljše osnovnice za kot 360°. Izračunaj površino in prostornino vrtenine.

(naloga5.png)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 143,66 , prostornina pa = 141,37 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Naloge

6. naloga

Trapez s kotom = 90° in stranicami = 6 cm, = 5 cm, = 4 cm zavrti okrog osi, ki je pravokotna na osnovnico v oglišču za kot 360°. Izračunaj površino in prostornino vrtenine.

(naloga6.png)

Odgovor: Površina telesa meri

prostornina pa

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Površino telesa si izračunal pravilno, prostornino izračunaj še enkrat.

Prostornino telesa si izračunal pravilno, površino izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Odgovor: Površina telesa meri = 386,80 , prostornina pa = 448,20 .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.
0%
0%