Stožnice - uvod
Stožnice - uvod
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Motivacija
Ponovitev funkcij
| a) | Katere funkcije si do sedaj že spoznal? | Odgovor | |
| b) | Ali veš, kaj je to krivulja? | Odgovor | |
| c) | Ali so vse funkcije tudi krivulje? | Odgovor |
Za funkcije velja, da se vsak iz definicijskega območja preslika v natanko en iz zaloge vrednosti. V tem poglavju nas bo zanimalo, ali lahko z enačbo opišemo tudi krivuljo. Npr.: krožnico (na krožnici obstajata dve točki, ki imata isto absciso, vendar imata različni ordinati), parabolo, ki ni graf kvadratne funkcije ...
Odgovor
Poznamo:
- linearno funkcijo (graf linearne funkcije imenujemo premica),
- kvadratno funkcijo (graf kvadratne funkcije imenujemo parabola),
- eksponentno funkcijo,
- logaritemsko funkcijo,
- polinome in racionalne funkcije
- ...
Odgovor
Krivulja je črta v ravnini ali prostoru.
Odgovor
Funkcije neodvisne spremenljivke so krivulje. Vendar pazi, vse krivulje niso funkcije neodvisne spremenljivke .
Krivulje drugega reda
Poglejmo krivulje, ki nastanejo kot presek ravnine s plaščem neomejenega dvojnega stožca. Na spodnji sliki so prikazane le krivulje drugega reda, lahko pa dobimo še premico, točko, dve premici in prazno množico.
|
|
Stožnice na petih točkah
Skozi poljubnih pet točk lahko narišemo natanko eno stožnico. (To trditev bomo utemeljili na koncu gradiva, ko bomo opremljeni s pravo mero znanja.)
S prvo ikono nad apletom rišemo stožnice, z drugo pa stožnicam spreminjamo barvo. Najprej moraš izbrati barvo, potem lahko rišeš stožnice.
Stožnice lahko narišeš skozi dane točke ali pa točke postaviš sam. Če narišeš stožnico skozi točke , , , in , boš dobil krožnico, če skozi točke , , , in , elipso, če skozi točke , , , in , dobimo hiperbolo, če skozi točke , , , in , pa dobimo parabolo.
Poskusi tudi sam narisati nekaj stožnic. Ko stožnico narišeš, lahko točke na njej premikaš s desnim miškinim gumbom. Tako lahko opazuješ, kako različni položaji točk vplivajo na vrsto stožnice.
|
|
Stožnice na petih točkah
| Stožnice so krivulje, ki nastanejo kot preseki ravnine s plaščem neomejenega dvojnega krožnega stožca. Ravnino, ki seka stožec, imenujemo presečna ravnina. Glede na kot sekanja presečne ravnine z dvojnim stožcem dobimo naslednje stožnice: krožnico, elipso, hiperbolo in parabolo. Te krivulje imenujemo tudi krivulje drugega reda ali stožnice. |
Če presečna ravnina poteka skozi vrh neomejenega dvojnega stožca, dobimo izrojeno stožnico: dve premici (če presečna ravnina vsebuje premico nosilko stranice stožca) ali točko. Kot zanimivost si poglej tudi nekaj o zgodovini stožnic.
Zgodovina
Zgodovina
Stožnice ali konike so poznali že stari Grki. Ime so dobile po stožcu (gr. konus in iz tega konike), torej stožnice (slovensko stožec in zato stožnice). Uporabljali so jih za razvijanje teorije osončja.
Menehno je prikazoval stožnice kot presek ravnine z določenim stožcem. Pomemben je bil kot pri vrhu stožca. Kasneje je Apolonij pokazal, da lahko vse tipe krivulj dobimo na enem stožcu, in vpeljal imena elipsa, hiperbola in parabola.
Odlično! Nastala črta ni funkcija realne spremenljivke. Imenujemo jo krivulja.
Parabola in hiperbola nista sklenjeni krivulji, torej odgovor ni pravilen.
Namig
Zamislimo si krožnico v koordinatnem sistemu. Ali obstajata dve točki, na krožnici, ki imata isto absciso in različni ordinati?
Pravilno. Dane krivulje lahko predstavimo v obliki enačbe + + + + + = 0.
Narobe. Dane krivulje lahko predstavimo v obliki enačbe + + + + + = 0.
Namig
Razmisli, kaj predstavljajo enačbe druge stopnje z dvema neznankama.
Enačba stožnic
V zadnjem odgovoru smo povedali, da lahko vsako od stožnic opišemo z enačbo , sedaj pa se vprašajmo še obratno: ali nam enačba vedno opiše zgolj eno od stožnic?
Poglejmo si odgovor (brez dokaza):
Enačba lahko predstavlja:
|
Koliko točk nam natanko določa stožnico?
Na začetku smo zapisali trditev, da nam 5 točk natanko določa stožnico. Ali bi znal s pomočjo enačbe, ki opisuje stožnice, to utemeljiti?
Naloge
1. naloga
Ali je krivulja na sliki stožnica? Če je, jo poimenuj!
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Stožnica na sliki je krožnica.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
2. naloga
Ali je krivulja na sliki stožnica? Če je, jo poimenuj!
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Stožnica na sliki je parabola.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
3. naloga
Ali je krivulja na sliki stožnica? Če je, jo poimenuj!
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Stožnica na sliki je elipsa.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
4. naloga
Ali je krivulja na sliki stožnica? Če je, jo poimenuj!
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Krivulja na sliki ni stožnica.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
5. naloga
Ali je krivulja na sliki stožnica? Če je, jo poimenuj!
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Stožnica na sliki je hiperbola.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
6. naloga
Ali je krivulja na sliki stožnica? Če je, jo poimenuj!
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Krivulja na sliki ni stožnica.
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
7. naloga
Najprej sam razmisli, kako bi dokazal, da skozi pet različnih točk poteka natanko ena stožnica, nato dopolni dokaz.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Dokaz
Enačba predstavlja stožnico. Enačbo preoblikujemo (delimo z F) in dobimo , kjer je , , , in . Da lahko določimo konstante , , , , in potrebujemo natanko 5 točk.
Odgovori niso pravilni. Poskusi še enkrat.
Naloge
8. naloga
Iz papirja izdelaj stožec. Prereži ga tako, da boš dobil eno od stožnic. Sožnico tudi poimenuj. Namesto papirja lahko uporabiš sladkorni kornet. Katere stožnice lahko dobiš iz enega stožca?
|
