Deljenje polinomov

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Deljenje polinomov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Težave pri deljenju naravnih števil

Že v naravnih številih se nam pogosto zgodi, da se deljenje "ne izide". Če delimo na primer

dobimo racionalno število, ki je med 2 in 3. Še največ, kar lahko naredimo v okviru naravnih števil, je, da napišemo

in rečemo, da daje število 7 pri deljenju s 3 kvocient 2 in ostanek 1. Takšna razlaga je problematična, ker je recimo res tudi

pa nikoli ne rečemo, da daje 7 pri delitvi s 3 kvocient 1 in ostanek 4. Zaplet rešimo tako, da priznavamo samo ostanke, ki so nenegativni in manjši od števila, s katerim delimo.

Težave pri deljenju polinomov

Do še hujših težav pride pri deljenju polinomov. Kakšna deljenja se sicer izidejo, na primer:

saj vemo, da je .

Pri večini kvocientov pa naletimo na težave. Recimo, da bi radi delili

Kakorkoli poskusimo, ne gre. Pa je to samo zato, ker tega ne znamo? Ne, v splošnem kvocient polinomov ni polinom. Da v našem primeru kvocient ni polinom, si lahko ogledaš s pritiskom na naslednji gumb.

Za radovedne

Če bi recimo veljalo

za nek polinom p(x), bi veljalo tudi

Enaka polinoma imata enake vrednosti v vseh točkah. Do protislovja pridemo, ko vstavimo = -1. Ko primerjamo vrednosti na levi in desni strani, dobimo

1=0,

kar pa seveda ni res.

Težave pri deljenju polinomov

Težave se lotimo podobno kot pri naravnih številih. V prejšnjem primeru bi recimo lahko napisali:

in rekli, da daje polinom pri deljenju s polinomom kvocient in ostanek 1. Konstanten polinom 1 ima nižjo stopnjo kot linearni polinom .

Rečemo, da polinom p(x) daje pri deljenju s polinomom q(x) kvocient r(x) in ostanek s(x), če velja

in je stopnja polinoma s(x) strogo manjša od stopnje delitelja q(x).

Vprašati pa se moramo, če je zgornji razcep enoličen. Ali bi se lahko dogodilo, da bi nam uspel podoben, a drugačen razcep kot zgoraj? Izkaže se, da ne. Bolj radoveden bralec si lahko s pritiskom na naslednji gumb ogleda, zakaj je razcep enoličen.

Enoličnost razcepa

Pa recimo, da je

in sta stopnji polinomov in manjši od stopnje polinoma . Enakost preoblikujmo v

Oglejmo si stopnje na levi in desni strani enakosti. Če polinoma in ne bi bila enaka, bi bila stopnja produkta na levi strani večja ali enaka stopnji polinoma . Povsem drugače pa je na desni strani. Stopnja razlike je zagotovo manjša od stopnje polinoma .

Zato je takšen razcep enoličen.

In kako v praksi deliti polinome?

Za motivacijo in glavno idejo si poglejmo konkreten primer. Recimo, da bi radi zdelili polinoma
in
.

To pomeni, da želimo razcepiti
,

Kaj lahko poveš o stopnji polinoma ?

Stopnja polinoma je več kot 2

Stopnja polinoma je 2.

Stopnja polinoma je manj kot 2.
Kaj lahko poveš o stopni polinoma ?

Stopnja polinoma je kvečjemu 1.

Stopnja polinoma je 1.

Stopnja polinoma je 0.

Preveri odgovora

Odlično! Obe nalogi si rešil pravilno.

Prvo nalogo si rešil pravilno, drugo pa poskusi še enkrat.

Drugo nalogo si rešil pravilno, prvo pa poskusi še enkrat.

Napačno

Odgovora sta napačna. Poskusi še enkrat.

REŠITEV

Stopnja polinoma je 2.
Stopnja polinoma je kvečjemu 1.

In kako v praksi deliti polinome?

Da se bosta ujemala koeficienta pri potenci na levi in desni strani, mora imeti polinom vodilni koeficient 1 in ga lahko zapišemo v obliki .

Torej, vodilni člen polinoma dobimo kot kvocient vodilnih členov .

Sedaj pa zmnoži dobljeni polinom z deliteljem in premisli, čemu je enak polinom .

Tu najdeš iskani polinom

, torej je .

Kakšna je stopnja polinoma ? Ali je to že naš željeni razcep polinoma ?

Tu najdeš odgovora

Stopnja polinoma je večja od stopnje delitelja - polinoma , zato to ni naš željeni razcep. Deljenje s tem še ni končano.

Z deljenjem polinomov nadaljujemo. Enako kot prej, vodilni člen polinoma delimo z vodilnim členom delitelja in zapišemo:

.

Poišči polinom in premisli, kako lahko zapišeš polinom , ko poznaš in .

Po premisleku klikni tukaj

Torej je , to je polinom ničte stopnje in zato manjše stopnje kot je stopnja delitelja. Polinom lahko zapišemo:

S tem smo določili kvocient in ostanek pri deljenju polinoma s polinomom . Zapišemo lahko:

, ostane 1.

In kako v praksi deliti polinome?

Verjetno se strinjaš, da je bil zgornji postopek deljenja dveh polinomov dolgotrajen, zato lahko ta zapis malce skrajšamo.

Spodaj je po korakih predstavljen postopek deljenja dveh polinomov.

Vaji

V spodnjem računu dopolni manjkajoča števila, da bo račun pravilen.

(	+	-	+	)	: ()	=	+	-
	+
		-	+
		+
		-	+
		-	-

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

(	+		-		+	)	: ()	= 2	+ 3	- 6
2	+	2
		3	-	3	+	2
		3	+	3
			-	6	+	2
			-	6	-	6
						8

Napačno

Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Vaji

Kateri kvocient in ostanek sta prava?

Kvocient je , ostanek pa .

Kvocient je , ostanek je .

Kvocient je , ostanek pa .

Kvocient je , ostanek je .
Kvocient je , ostanek je .

Kvocient je , ostanek pa .

Kvocient je , ostanek pa .

Deljenje se izide, kvocient je .

Preveri

Odlično! Nalogi si rešil pravilno.

REŠITEV

= , ostanek .
= , ostanek .

Napačno

Odgovora sta napačna. Poskusi še enkrat.

Prvo nalogo si rešil pravilno, drugo poskusi še enkrat.

Drugo nalogo si rešil pravilno, prvo poskusi še enkrat.

Ostanek pri deljenju je lahko tudi nič

Kaj pa v primeru, če se deljenje dveh polinomov izide, torej je ostanek pri deljenju enak ničelnemu polinomu?

Zapišemo lahko:

, ostane 0 natanko takrat, ko je .

Pravimo, da polinom deli polinom oziroma, da je deljiv s polinomom .

Primer

Določi realni števili in tako, da bo polinom deljiv s polinomom .

Če je polinom deljiv s polinomom , potem je ostanek pri deljenju ničelni polinom. Zato bomo najprej izračunali .

Najprej poskusi samostojno deliti polinoma, nato pod spodnjim gumbom preveri postopek deljenja polinomov po korakih.

Postopek deljenja po korakih