Definicijsko območje polinoma je cela realna os, zato lahko vrednost polinoma izračunamo za poljubno realno število .

Če poskušamo vrednost polinoma višje stopnje v neki točki izračunati brez pomoči kalkulatorja, pa ugotovimo, da potrebujemo za izračun vrednosti zelo veliko operacij in da večino časa delamo z zelo velikimi števili.

Izračunaj, koliko je , če je

Preveri

Če bi isto nalogo zadali srednješolcu v višjem letniku, bi jo rešil takole:

Ni nam sicer še čisto jasno, kako je prišel do enakega rezultata, vidimo pa lahko, da je uporabil manj množenj, v katerih so se pojavljala relativno majhna števila.

Čarovnija se skriva v Hornerjevem algoritmu, postopku, ki bistveno zmanjša število potrebnih množenj in na zelo ekonomičen način izračuna vrednost polinoma v točki.

Poglejmo si še enkrat izraz in ga preoblikujmo:

Na videz smo dobili še bolj kompliciran izraz kot prej. V resnici pa smo zelo zmanjšali število množenj in prevedli nalogo na računanje z manjšimi števili (npr. samo za računanje potence so potrebna štiri množenja, tukaj pa smo vsega skupaj množili štirikrat).

Izračunajmo vrednost danega izraza.

Sedaj pa pozorno opazuj spodnji shemi, po katerih smo izračunali vrednost polinoma za in odgovori na naslednja vprašanja.

Ta postopek se imenuje Hornerjev algoritem.

Izračunajmo vrednost polinoma v točki s pomočjo Hornerjevega algoritma.

Na spodnji sliki imaš predstavljen Hornerjev algoritem po korakih.

Vrednost polinoma v točki preberemo v zadnji vrstici. Torej .

Izračunaj vrednost polinoma za . V pripravljeno tabelo za Hornerjev algoritem vpisuj ustrezna števila.

Preveri

Za radovedne predstavimo še Hornerjev algoritem v splošnem.

Naše ideje in razmišljanje na konkretnem primeru lahko formalno zapišemo takole:

Tako lahko vrednost polinoma določimo v več zaporednih korakih. Začnemo pri najbolj notranjem oklepaju in nadaljujemo proti zunanjim:

Zato je

Rekurzivni postopek nam privarčuje vsakratno računanje potenc , je pa sprva videti nepregeden in zapleten. Zato si običajno računanje lažje predstavimo z naslednjo (že na pol znano) tabelico.

Pripravimo si tri vrstice. V zgornjo vrstico napišemo koeficiente polinoma v (glede na pripadajoče potence) padajočem vrstnem redu, zamaknjene za ena v desno, drugo vrstico pustimo zaenkrat prazno, v tretjo pa v skrajni levi kot napišemo :

Potem v predpisanem vrstnem redu izpolnjujemo prazna mesta v tabelici. Najprej v tretjo vrsto, zraven , iz prve vrste prepišemo .

Potem si predstavljamo, da množimo in produkt napišemo v celico, ki leži za ena višje in ena bolj v desno. Vrednosti v drugem stolpcu seštejemo.

Sedaj s pomočjo prejšnjih enakosti ugotovimo, da velja

Postopek nadaljujemo na enak način. Ponovno pomnožimo z in produkt napišemo v celico, ki leži za mesto višje in za mesto v desno. Vrednosti v stolpcu seštejemo in vsoto napišemo v trejo vrstico.

S postopkom nadaljujemo do konca tabelice. Na koncu dobimo Hornerjev algoritem za izračun vrednosti polinoma v točki .

V tabelici je v desnem spodnjem kotu vrednost .

1. naloga

S pomočjo Hornerjevega algoritma izračunaj vrednost polinoma v izbrani točki .

Odgovor: Vrednost polinoma v izbrani točki je

Preveri

2. naloga

S pomočjo Hornerjevega algoritma izračunaj vrednost polinoma v izbrani točki .

Odgovor: Vrednost polinoma v izbrani točki je

Preveri

3. naloga

S pomočjo Hornerjevega algoritma izračunaj vrednost polinoma v izbrani točki .

Odgovor: Vrednost polinoma v izbrani točki je

Preveri

4. naloga

S pomočjo Hornerjevega algoritma izračunaj vrednost polinoma v izbrani točki .

Odgovor: Vrednost polinoma v izbrani točki je

Preveri

5. naloga

S pomočjo Hornerjevega algoritma izračunaj vrednost polinoma v izbrani točki .

Odgovor: Vrednost polinoma v izbrani točki je

Preveri