Z razcepljanjem izrazov smo se že velikokrat srečali, predvsem smo razcepljali razliko kvadratov, vsoto in razliko kubov, nekaj malega smo razcepljali tudi vsoto in razliko višjih potenc ter kvadratne polinome. Za vse razcepe smo poznali obrazce, ki so nam delo zelo poenostavili. Na tem mestu pa se bomo lotili tudi razcepljanja polinomov višjih stopenj, saj bomo razcepe polinomov potrebovali pri iskanju ničel polinomov.

Vendar pa razcep ne bo vedno taklo preprost kot smo bili navajeni in bo potrebno malo več spretnosti. Že za polinome stopnje pet se na primer izkaže, da v splošnem ne obstaja nobena formula, ki bi povezovala ničle polinoma z njegovimi koeficienti (za razliko od kvadratnih polinomov na primer). Celo približne numerične metode za iskanje ničel polinomov so zelo nestabilne in pogosto ne dajo dobrih rezultatov.

Za začetek si poglejmo, kdaj pravimo, da je polinom razcepen.

1. Naslednja polinoma zapiši kot produkt vsaj dveh polinomov in premisli, ali sta razcepna.

   a)		Rešitev
   b)		Rešitev

   
   

2. Seveda pa je razcep polinoma odvisen od množice števil znotraj katere razcepljamo. Na primer:

   a)	Razcepi polinom v okviru .	Rešitev
   b)	Razcepi polinom v okviru .	Rešitev
   c)	V okviru katere množice števil je razcepen polinom ?	Rešitev

Ponovimo, kaj smo se v poglavju o kvadratni funkciji naučili o razstavljanju kvadratnega polinoma

Polinom razstavimo po Vietovem pravilu.

Se ga še spomniš?

Razcepi kvadratni polinom . Poskušaj razcepiti na pamet, če ne gre, uporabi Vietovo pravilo. Izberi najožjo množico števil, znotraj katere je polinom še razcepen.

Polinom lahko razcepim kot:

Polinom je razcepen v okviru

Preveri

Razcepi kvadratni polinom . Poskušaj razcepiti na pamet, če ne gre, uporabi Vietovo pravilo. Izberi najožjo množico števil, znotraj katere je polinom še razcepen.

Polinom lahko razcepim kot:

Polinom je razcepen v okviru

Preveri

Razcepi kvadratni polinom . Poskušaj razcepiti na pamet, če ne gre, uporabi Vietovo pravilo. Izberi najožjo množico števil, znotraj katere je polinom še razcepen. Pomoč

Polinom lahko razcepim kot:

Polinom je razcepen v okviru

Preveri

Razcepi kvadratni polinom . Poskušaj razcepiti na pamet, če ne gre, uporabi Vietovo pravilo. Izberi najožjo množico števil, znotraj katere je polinom še razcepen. Pomoč

Polinom lahko razcepim kot:

Polinom je razcepen v okviru

Preveri

Razcepi kvadratni polinom . Poskušaj razcepiti na pamet, če ne gre, uporabi Vietovo pravilo. Izberi najožjo množico števil, znotraj katere je polinom še razcepen. Pomoč

Polinom lahko razcepim kot:

Polinom je razcepen v okviru

Preveri

Naj bo dano realno število. Pri naslednjih nalogah premisli, kako v okviru realnih oziroma kompleksnih števil razstaviti naslednje polinome.

Poskusimo skupaj razcepiti še nekaj polinomov višjih stopenj.

1. primer



Imaš kakšno idejo, kako ga razcepimo?

Rešitev

2. primer



Polinom ima štiri člene, najprej izpostavimo največji skupni faktor. Prvi korak pri razstavljanju je namreč vedno izpostavljanje največjega skupnega faktorja iz vseh členov. Pri spodnjem razcepu dopolni manjkajoče.

3 x 3x 2 2x x 2 2x x )

Poglejmo si prva dva člena v oklepaju in izpostavimo njun največji skupni faktor. Iz drugih dveh členov izpostavimo minus.

3 x 3x 2 2x x - 2 2x x )-( 2 2x x - 2 2x x ))

V oklepaju imamo člena s skupnim faktorjem 2 2x x x-2 , ki ga izpostavimo in dobimo:

2 2x 3x x-2 2 2x 3x x-2

Razstavimo še tretji faktor in dobimo:

2 2x 3x x-2 2 2x x x-2 - 2 2x x x-2 1 2x x x-2 1 2x x x-2 ).

Preveri

3. primer



Rešitev

4. primer



Rešitev

1. naloga

Razcepi polinom v okviru realnih števil.

Preveri

2. naloga

Razcepi polinom v okviru realnih števil.

Preveri

3. naloga

Razcepi polinom v okviru realnih števil.

Preveri

4. naloga

Razcepi polinom v okviru kompleksnih števil.

Preveri

5. naloga

Razcepi polinom v okviru kompleksnih števil.

Preveri

6. naloga

Razcepi polinom v okviru kompleksnih števil.

Preveri

7. naloga

Razcepi polinom v okviru kompleksnih števil.

Preveri