Kaj je ničla polinoma
Malo osvežitve spomina
Pri razkrivanju lastnosti o ničlah polinoma nam bo v veliko pomoč že pridobljeno znanje v prejšnjih učnih enotah. Odgovori na naslednja vprašanja.
| a. | Kaj je polinom? | Odgovor | ||||
| b. | Kaj je ničla funkcije? | Odgovor | ||||
| c. | Kako lahko zapišemo polinom , če je ? | Odgovor |
Polinom je funkcija, zato lahko zapišemo definicijo za ničlo polinoma.
| Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko , za katero ima polinom vrednost . |
Polinom je realna funkcija, podana s predpisom:
pri čemer je .
Ničla funkcije je takšna vrednost neodvisne spremenljivke , da ima funkcija vrednost .
Kaj je ničla polinoma
Od tod sledi, da je ničla polinoma .
Če polinom delimo s polinomom , dobimo ostanek . Najhitreje zdelimo polinoma s pomočjo Hornerjevega algoritma in dobimo:
,
,
.
Predpostavimo, da je ničla polinoma . Potem velja . Če delimo polinom s polinomom , lahko po osnovnem izreku o deljenju polinomov zapišemo:
.
Naj velja . Izračunajmo :
. Od tod sledi, da je ničla polinoma .
Ničle višjih stopenj
Naj velja in naj bo . Potem pravimo, da je enojna ničla ali enkratna ničla ali ničla . stopnje polinoma .
Lahko pa se zgodi, da je tudi je ničla polinoma . Po izreku lahko zapišemo:
.
Od tod sledi, da je:
.
Če je , pravimo, da je dvojna ničla ali dvakratna ničla ali ničla . stopnje polinoma . Če je , je ničla še višje stopnje. S postopkom nadaljujemo in lahko zapišemo:
Število je ničla -te stopnje oziroma -kratna ničla polinoma , ko lahko zapišemo in . |
Ničle višjih stopenj
Odlično!
To pa ne bo držalo!
To pa ne bo držalo! , , .
Odlično! , , .
Odlično! .
To pa ne bo držalo! .
Cele in racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti
Poglejmo si trditev:
| Cele ničle polinoma s celimi koeficienti so delitelji stalnega člena polinoma. |
Naj bo , pri čemer je polinom s celimi koeficienti in naj bo število ničla tega polinoma. Torej velja:
. Vstavimo število v polinom:
,
izpostavimo :
, pri čemer je celo število, saj ga dobimo kot produkt in vsoto celih števil. Od tod sledi, da deli . To pomeni, da je delitelj stalnega člena polinoma .
Cele in racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti
Primer
Poiščimo ničle polinoma . Polinom je dovolj zapleten, da ga kar takoj ne znamo razcepiti. Če ima kakšno celo ničlo, vemo, da mora ničla deliti prosti člen.
Cele in racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti
Poglejmo si še eno trditev.
| Če je okrajšan ulomek ničla polinoma s celimi koeficienti, potem števec deli stalni člen, imenovalec pa vodilni koeficient. |
Dokaz za še večje radovedneže.
V premislek:
Obe trditvi veljata v primeru, če imamo polinom s celimi koeficienti. Kaj pa, če bi iskali ničle polinoma z racionalnimi koeficienti?
Odgovor
Zadnji kriterij je zelo uporaben pri iskanju morebitnih racionalnih ničel polinoma.
Naj bo okrajšani ulomek ničla polinoma . Torej velja . , sta celi števili in . Ulomek vstavimo v polinom:
.
Zgornjo enakost pomnožimo z . S tem odpravimo ulomke:
Ker sta si števili in tuji si števili, iz enakosti sledi, da deli , torej prosti člen. Sedaj pa enakost preuredimo tako, da na eni strani zapišemo člen , na drugi strani enakosti pa iz vseh preostalih členov izpostavimo :
.
Ker sta in tuji si števili, mora veljati, da deli , torej vodilni koeficient.
Polinomsko enačbo bi pomnožili z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev koeficientov polinoma in s tem problem prevedli na iskanje ničel polinoma s celimi koeficienti.
Primer
Imejmo dan polinom . Poiščimo njegove ničle.
Možne cele ničle so delitelji
prostega
vodilnega
ničelnega
glavnega
člena, to je
1
-1
2
3
. Možni celi ničli sta dve, pozitivna:
1
-1
2
3
in negativna:
1
-1
2
3
. =
1
2
3
-3
in =
1
2
3
-3
. Torej polinom nima celih ničel.
Poskusimo poiskati racionalne ničle. Kandidati za števce so deljitelji
prostega
vodilnega
ničelnega
glavnega
člena, kandidati za imenovalce pa deljitelji
prostega
vodilnega
ničelnega
glavnega
koeficienta.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Možne cele ničle so delitelji prostega člena, to je -1. Možni celi ničli sta dve, pozitivna: 1 in negativna: -1.
= -3 in = 3. Torej polinom nima celih ničel.
Poskusimo poiskati racionalne ničle. Kandidati za števce so deljitelji prostega člena, kandidati za imenovalce pa deljitelji vodilnega koeficienta.
Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Primer
Poiščimo možne racionalne ničle našega polinoma .
Vemo že, da in nista ničli polinoma, zato preverimo še vrednosti polinoma za in . Kaj ugotoviš?
Rešitev
Ugotovimo, da je ena ničla polinoma enaka . Za razcep polinoma uporabimo Hornerjev algoritem in dobimo
Ničle polinoma so:
,
,
.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Ničle polinoma so: , in .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Najprej poišči možne cele ničle, nato možne racionalne ničle.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Ničla polinoma je .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Ničli polinoma sta in .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Ničla polinoma je .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
je enojna ničla,
je dvojna ničla in
je sedemkratna ničla.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
je dvojna ničla in je enojna ničla.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
je enojna ničla,
je enojna ničla,
je enojna ničla in
je dvojna ničla.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
8. naloga
Zapiši vse možne racionalne ničle polinoma .
Odgovor: Možne racionalne ničle polinoma so:
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Možne racionalne ničle polinoma so: , , , , .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
9. naloga
Zapiši vse možne racionalne ničle polinoma .
Odgovor: Možne racionalne ničle polinoma so:
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Možne racionalne ničle polinoma so in .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor: Možne racionalne ničle polinoma so , , , , , .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Najprej izpostavi : , nato poišči možne racionalne ničle.
