Dani so trije polinomi , ter . Poišči ničle teh polinomov.

Polinom ima ničlo 1 -1 0 . Ničli polinoma sta 1 -1 0 in 0 2 -2 3 -3 . Polinom nima realnih ničel, pač pa dve kompleksni, to sta i+1 i -1 in i-1 1 - i .

Preveri

Narišimo še grafe teh polinomov.

Riš datoteka

Na sliki vidimo, da dobimo presečišča polinoma z osjo s pomočjo realnih ničel. Premica seka abscisno os v točki , zelena parabola v točkah in , medtem ko rdeča parabola nikjer ne seka osi, saj nima realnih ničel.

Iz poglavja o ničlah polinoma že vemo, da če je ničla polinoma , lahko zapišemo:

,

pri čemer je stopnja polinoma za ena manjša od stopnje polinoma . Z enakim premislekom z razcepom nadaljujemo. Če je ničla polinoma , lahko zapišemo:

in

,

pri čemer je stopnja polinoma za dva manjša od stopnje polinoma . Ker ima polinom končno stopnjo, se bo takšno razstavljanje prej ali slej končalo. Pokazali smo, da lahko za vsako ničlo polinoma iz polinoma izpostavimo linearni faktor , kar pomeni:

Z našim znanjem lahko zaenkrat o strukturi ničel povemo še malo več. Naj bo polinom z realnimi koeficienti in njegova kompleksna ničla, ki ni realno število.

, kjer \ in . Naj bo . Potem je njegova konjugirana vrednost -a+bi -a-bi a+bi a-bi . Vstavimo to vrednost v polinom :

. Vemo tudi, da je konjugirana vrednost vsote enaka vsoti razliki zmnožku kvocientu konjugiranih vrednosti. Zato je

-1 0 1 .

Preveri

S tem smo dokazali:

Imejmo dan polinom in njegovo ničlo .

Potem je njegova ničla tudi: = 2-3i 2+3i -2+3i -2-3i . Preizkusimo:

2-3i 2+3i -2+3i -2-3i 2-3i 2+3i -2+3i -2-3i 4 12 9 0 - 4 12 9 0 4 12 9 0 4 12 9 0 4 12 9 0 in

2-3i 2+3i -2+3i -2-3i 2-3i 2+3i -2+3i -2-3i 4 12 9 0 + 4 12 9 0 4 12 9 0 4 12 9 0 4 12 9 0 .

Preveri

Iz zgornje trditve lahko sklepamo še nekaj. Če imamo polinom z realnimi koeficienti, vemo, da prave kompleksne ničle (kompleksne ničle, ki niso realna števila) nastopajo v konjugiranih parih. Torej jih je vedno sodo število. Kaj lahko povemo o polinomu lihe stopnje?

To dejstvo bomo lažje prepoznali še na drug način, ko se bomo naučili risati graf polinoma. Pravi namreč, da polinom lihe stopnje zagotovo vsaj enkrat seka abscisno os.

Primer polinoma tretje stopnje, ki ima le eno realno ničlo.

Riš datoteka

Eden najpomembnejših izrekov v matematiki je osnovni izrek algebre, ki pravi naslednje:

Ker lahko rečemo, da je vsako realno število kompleksno število z imaginarno komponento enako , ima tudi vsak nekonstanten polinom z realnimi koeficienti vsaj eno kompleksno ničlo.

Žal še nimamo dovolj matematičnih sredstev, da bi ta pomembni izrek dokazali, zato se bomo dokazu izognili, navedli pa bomo dve njegovi pomembni posledici.

Dokaz za radovedneže

S pomočjo dokaza zgorjega izreka lahko polinom stopnje z ničlami , ,..., zapišemo v razcepni obliki:

1. primer

Zapišimo polinom četrte stopnje z realnimi koeficienti, ki ima dvojno ničlo , enojno ničlo ter za vrednost .

Potek

2. primer

Določi ničle polinoma , če veš, da je ena njegova ničla . Poznaš še kakšno njegovo ničlo?

Ker ima polinom realne koeficiente, je še ena njegova ničla:

Preveri

Zaključimo še z eno pomembno trditvijo:

1. naloga

Preveri pravilnost naslednjih izjav.

2. naloga

Graf katerega polinoma je na sliki?

Riš datoteka

Na sliki je graf polinoma:

Preveri

3. naloga

O polinomu, katerega graf je na sliki, vemo, da je pete stopnje in ima eno kompleksno ničlo enako . Kateri izmed navedenih predpisov je lahko predpis za omenjeni polinom?

Riš datoteka

Na sliki je graf polinoma:

Preveri

4. naloga

Določi tako, da bo ničla polinoma in nato poišči še preostale ničle.

Odgovor: Izračunam, da = 3 2 1 0 -4 , preostali ničli sta:

Preveri

5. naloga

Zapiši polinom pete stopnje z realnimi koeficienti, ki ima ničle , in ter za vrednost .

Odgovor: Polinom je:

Preveri

6. naloga

Določi ničle polinoma , če veš, da je ena njegova ničle .

Odgovor: Ničle polinom so (odgovorov je lahko več):

Preveri

7. naloga

Razcepi polinom na produkt dveh kvadratnih polinomov.

Odgovor: Razcep polinoma na produkt dveh kvadratnih polinomov je:

Preveri



Razmisli, zakaj polinom nima realnih ničel?

Odgovor