Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Graf polinoma

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Presečišče polinoma z ordinatno osjo

Polinom je realna funkcija, ki je definirana za vsa realna števila. Njegov graf skiciramo s pomočjo značilnih točk in lastnosti polinoma, ki jih izluščimo iz njegovih koeficientov. Zapomnili si bomo tudi, da je polinom zvezna funkcija, kar pomeni, da je njegov graf nepretrgana krivulja.

Najlažje je ugotoviti, kje polinom seka ordinatno os. Seka jo v točki .

Na sliki je narisan graf polinoma . Izračunaj njegovo začetno vrednost in zapiši presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo. Rezultat preveri na sliki. Odgovor

**Graf polinoma p(x)**
Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Vemo, da je začetna vrednost polinoma enaka njegovemu prostemu členu.

,

zato je presečišče z osjo točka .

Vloga ničel pri risanju grafa

Med najbolj pomembne značilne točke grafa polinboma sodijo presečišča grafa polinoma z abscisno osjo, ki jih dobimo s pomočjo realnih ničel polinoma. Ponavadi je iskanje ničel ena od bolj zahtevnih nalog, kar smo si podrobneje pogledali v prejšnjih poglavjih. Vemo že, kaj pomeni, da je ničla -te stopnje.

Se še spomniš?

Vloga ničel pri risanju grafa

Poišči in opiši ničle polinoma .

Odgovor: Ničle in stopnje polinoma so (odgovorov je lahko več):

, ničla lihe stopnje

, ničla sode stopnje

, ničla lihe stopnje

, ničla sode stopnje

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Odgovor: Ničle in stopnje polinoma so:

, ničla lihe stopnje,
, ničla lihe stopnje,
, ničla sode stopnje.

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Vloga ničel pri risanju grafa

Zakaj je pomembna stopnja ničle pri risanju grafa polinoma? Od večkratnosti ničle je odvisno, kako se graf polinoma obnaša v okolici realnih ničel.

Na sliki imamo prikazano, kako se graf polinoma obnaša v okolici ničle , če je ničla lihe stopnje.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Če je ničla lihe stopnje, graf polinoma v tej ničli preseka abscisno os.

Vloga ničel pri risanju grafa

Poglejmo si še, kako se obnaša graf polinoma v okolici ničle sode stopnje.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Če je ničla sode stopnje polinoma, potem se graf polinoma v tej ničli odbije od osi.

Vloga ničel pri risanju grafa

Na sliki imamo graf polinoma . Kaj lahko poveš o njegovih ničlah in njihovih stopnjah? Lahko natančno določiš stopnjo polinoma, katerega graf je na sliki? Odgovor

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Če pazljivo pogledaš graf polinoma, med ničlama 1 in 2 opaziš hribček. Točki, kjer je hribček najvišji, pravimo lokalni maksimum in je prav tako značilna točka grafa. Prav tako lahko na sliki vidiš, da se polinom v točki 1 previje, v točki 2 pa ima lokalno najmanjšo vrednost - lokalni minimum. Lokalne minimume, maksimume in prevoje se bomo naučili računati, ko bomo predelali poglavje o odvodu in njegovem pomenu.

Polinom ima tri ničle lihe stopnje, to so , , ter eno ničlo sode stopnje, to je .

Stopnje polinoma ne moremo natanko določiti, saj ima lahko polinom tudi kompleksne ničle, ki jih iz grafa ne moremo razbrati.

Vpliv ničel na graf polinoma

Na sliki lahko s pomočjo drsnikov opazuješ, kako ničle , , in vplivajo na graf polinoma .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Vpliv prostega člena na graf polinoma

Na sliki se vidi, kako prosti člen vpliva na graf polinoma .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Obnašanje grafa polinoma na robu definicijskega območja

Za dobro skico moramo ugotoviti še, kako se polinom obnaša na robu definicijskega območja; torej kakšne so vrednosti polinoma v primerih, ko pošljemo proti oziroma proti . Najprej si poglejmo nekaj splošnih dejstev.

Če pošljemo proti neskončno, kam gre in ?

Imejmo dan polinom stopnje : , pri čemer je . Iz polinoma izpostavimo faktor :

.

Ko pošljemo proti ali proti , grejo vsi členi v oklepaju, razen prvega, proti . Torej:

, gre . Iz tega sklepamo:

Na robu definicijskega območja se polinom obnaša kot vodilni člen.

Obnašanje grafa polinoma na robu definicijskega območja

Polinome bomo razdelili v štiri različne skupine, glede na njihovo stopnjo in vodilni koeficient in si bomo ogledali obnašanje grafa polinoma na robu definicijskega območja. Če je polinom sode stopnje, je potenca zelo velika pozitivna, ne glede na predznak števila . Če pa je polinom lihe stopnje, je predznak potence odvisen od predznaka števila .

Naj bo , kjer . Za vsako skupino polinomov v kvadratke vpiši ustrezna predznaka oziroma .

I.	je sodo število, je pozitivno število.
	Če gre , potem gre + - .
	Če gre , potem gre + - .

II.	je sodo število, je negativno število.
	Če gre , potem gre + - .
	Če gre , potem gre + - .

III.	je liho število, je pozitivno število.
	Če gre , potem gre + - .
	Če gre , potem gre + - .

IV.	je liho število, je negativno število.
	Če gre , potem gre + - .
	Če gre , potem gre + - .

Preveri

Iz zgornjih izrazov lahko sklepamo naslednje:

Če je polinom sode stopnje, se graf polinoma začne in konča na isti strani abscisne osi.

Če je polinom lihe stopnje, se graf polinoma začne na eni strani abscisne osi in konča na drugi.

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

I.	je sodo število, je pozitivno število.
	Če gre , potem gre .
	Če gre , potem gre .

II.	je sodo število, je negativno število.
	Če gre , potem gre .
	Če gre , potem gre .

III.	je liho število, je pozitivno število.
	Če gre , potem gre .
	Če gre , potem gre .

IV.	je liho število, je negativno število.
	Če gre , potem gre .
	Če gre , potem gre .

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Obnašanje polinoma lihe stopnje

Na sliki lahko s pomočjo drsnikov opazuješ, kako se obnaša graf polinoma tretje stopnje z vodilnim koeficientom in ničlami , , .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Obnašanje polinoma sode stopnje

S pomočjo drsnikov lahko opazujete, kako na graf polinoma četrte stopnje vpliva vodilni koeficient in ničle , , , .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naloge

1. naloga

Izberi pravilno trditev.

Graf polinoma

se začne v in konča v .

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Graf polinoma se začne v in konča v .

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

2. naloga

Izberi pravilno trditev.

Graf polinoma

se začne v in konča v .

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Graf polinoma se začne v in konča v .

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

3. naloga

Izberi pravilno trditev. Namig

Graf polinoma

prebode abscisno os v .

se odbije od abscisne osi v .

nikoli ne seka abscisne osi.

abscisno os seka trikrat.

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Graf polinoma prebode abscisno os v .

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Razstavi:

Naloge

4. naloga

Izberi pravilno trditev.

Graf polinoma

lahko doseže poljubno majhne vrednosti.

gre skozi izhodišče koordinatnega sistema.

nikoli ne seka abscisne osi.

se začne v in konča v .

Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Graf polinoma gre skozi izhodišče koordinatnega sistema.

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

5. naloga

Nariši graf polinoma . Pomagaj si s spodnjimi podvprašanji.

Poišči vse ničle polinoma in njihove stopnje. Kako vpliva stopnja posamezne ničle na graf polinoma?	Odgovor
Kolikšna je začetna vrednost polinoma? Zapiši tudi presečišče z ordinatno osjo.	Odgovor
Kako se obnaša graf polinoma daleč od izhodišča?	Odgovor

Graf polinoma

Pri iskanju ničel si pomagamo z izrekom o celih ničlah polinoma s celimi koeficienti. Možne cele ničle so: , . S Hornerjevim algoritmom preverimo, katera od naštetih števil so ničle polinoma.

Ničle:

... ničla sode stopnje - graf se odbije od osi,
... ničla sode stopnje - graf se odbije od osi,
... ničla lihe stopnje - graf preseka os .

, presečišče z ordinatno osjo je točka .

Polinom je lihe stopnje, zato se graf polinoma začne in konča na različnih koncih osi. Ker je vodilni koeficient polinoma negativen, se graf polinoma začne na spodnji strani osi in konča na zgornji strani. Obnašanje grafa polinoma daleč od izhodišča nakazujeta rdeči krivulji.

**Graf polinoma p(x)**
Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)