Premik krožnice

Premik krožnice

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Motivacija

Z drsnikom na levi strani lahko spreminjaš polmer krožnice. Pomagaj si s konstrukcijo in odgovori na spodnja vprašanja.

Če drsnik premikaš z levim miškinim gumbkom, lahko polmer zavzame poljubno vrednost med in . Če drsnik premikaš z desnim miškinim gumbkom, pa so vrednosti polmera lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (, , , , , , in ).

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

1.Točka leži znotraj krožnice v središčni legi s polmerom .PravilnoNepravilno
2.Točka je enako oddaljena od središča koordinatnega sistema kot točka .PravilnoNepravilno
3.Krožnica s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in polmerom odreže na ordinatni osi odsek, dolg enot.PravilnoNepravilno
4.Krožnica s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in premerom seka ordinatno os v točkah in .PravilnoNepravilno
5.Enačba krožnice v središčni legi je .PravilnoNepravilno

Pravilno. Točka leži znotraj krožnice, saj je , , .

Nepravilno. Točka leži znotraj krožnice, saj je , , .

Nepravilno. Točka je od središča koordinatnega sistema oddaljena za , točka pa za enote.

Pravilno. Točka je od središča koordinatnega sistema oddaljena za , točka pa za enote.

Nepravilno. Krožnica odreže odsek, dolg enot; to je premer krožnice.

Pravilno. Krožnica odreže odsek, dolg enot; to je premer krožnice.

Nepravilno. Krožnica seka ordinatno os v točkah in .

Pravilno. Krožnica seka ordinatno os v točkah in .

Pravilno.

Nepravilno.

Enačba krožnice v premaknjeni legi

Kako bi poiskali enačbo poljubne krožnice (ne nujno v središčni legi)?

Narišimo si skico: krožnico s središčem v točki in polmerom . Na krožnici si izberimo točko .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Točko projiciramo na premico, ki je vzporedna osi in poteka skozi središče krožnice. Dobimo točko in pravokotni trikotnik . Glej zgornjo animacijo. Animacijo lahko s klikom tudi ustaviš (vidiš lahko le končno sliko), s ponovnim klikom pa jo lahko znova zaženeš.

Enačba krožnice v premaknjeni legi

S pomočjo konstrukcije na prejšnji strani odgovori na spodnji vprašanji.

a)Kakšna koordinate ima točka ?
b)Razdalja je enaka polmeru krožnice, torej . Razdalja meri . Koliko meri razdalja ?


Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Koordinate točke si odčital pravilno, razdaljo odčitaj še enkrat.

Razdaljo si odčital pravilno, koordinate točke odčitaj še enkrat.

REŠITEV



Razdalja meri

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Enačba krožnice v premaknjeni legi

Poznamo dolžine vseh stranic trikotnika . Na stranicah uporabimo Pitagorov izrek.

Enačba krožnice v premaknjeni legi je

kjer je središče krožnice in polmer krožnice.

Primeri

S pomočjo spodnjega apleta odgovori na vprašanji. Premikaš lahko središče krožnice (točko ), s točko pa večaš ali manjšaš premer krožnice.

Če točki in premikaš z levim miškinim gumbkom, lahko koordinate točk zavzamejo poljubno vrednost med in , če točki premikaš z desnim miškinim gumbkom, pa so vrednosti koordinat točk lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (, , , , , ..., , , , , , , in ).

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Enačba krožnice s središčem in polmerom je Namig


Enačba krožnice, ki ima središče v točki in poteka skozi točko , je Namig


Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Enačbo krožnice s središčem in polmerom si določil pravino, enačbo krožnice, ki ima središče v točki in poteka skozi točko določi še enkrat.

Enačbo krožnice s središčem in poteka skozi točko si določil pravino, enačbo krožnice, ki ima središče v točki s polmerom izračunaj še enkrat.

REŠITEV

Enačba krožnice s središčem in polmerom je .

Enačba krožnice, ki ima središče v točki in poteka skozi točko je .

Napačno

Odgovora nista pravilna. Poskusi še enkrat.

Krožnica je v premaknjeni legi.

Pomagaj si z zgornjo animacijo!

Primeri

S pomočjo spodnjega apleta odgovori na vprašanji. Premikaš lahko središče krožnice (točko ), s točko pa večaš ali manjšaš premer krožnice.

Če točki in premikaš z levim miškinim gumbkom, lahko koordinate točk zavzamejo poljubno vrednost med in , če točki premikaš z desnim miškinim gumbkom, pa so vrednosti koordinat točk lahko le vrednosti, ki so večkratniki števila (, , , , , ..., , , , , , , in ).

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Kakšna je enačba krožnice s središčem , če se krožnica dotika osi ? Namig


Ali enačba predstavlja krožnico? Namig


Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Enačba krožnice s središčem , ki se dotika osi , res znaša .

Če preoblikujemo enačbo , dobimo , torej krožnico s polmerom 0, kar predstavlja točko.

REŠITEV

Enačba krožnice s središčem S(-1,-4), ki se dotika osi , je .

Če preoblikujemo enačbo , dobimo , torej krožnico s polmerom 0, kar predstavlja točko.

Enačba krožnice, ki ima središče v točki in poteka skozi točko je .

Napačno

Vsaj en odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Razmisli, kakšen je polmer te krožnice.

Poišči središče in polmer krožnice, če ta obstaja.

Primeri

Kdaj enačba predstavlja krožnico?

Odgovor

Razpišimo enačbo krožnice v premaknjeni legi:

.

Enačbo preoblikujemo:

.

Ugotovimo, da lahko zgornja enačba predstavlja krožnico, če je in . Ali je ta potrebni pogoj dovolj? Lahko se zgodi, da enačba predstavlja točko ali prazno množico. Za lažjo primerjavo upoštevajmo zgornja pogoja v splošni enačbi.

To enačbo delimo še z in dobimo

To enačbo delimo še z in dobimo:

.

Primerjamo dobljeni enačbi in ugotovimo:

in ,

kar pomeni, da je središče krožnice .


Izrazimo še polmer krožnice

Izrazimo še polmer krožnice:

. Če vstavimo in , sledi

.

Polmer (je razdalja od središča do točke na krožnici) je vedno pozitivno število. Torej je njegov kvadrat toliko bolj pozitiven. Od tod sledi, da če velja in je in , zgornja enačba predstavlja krožnico.

Primeri

Ali enačba predstavlja krožnico? Če jo predstavlja, zapiši koordinati središča in njen polmer.

Odgovor

Preverimo, ali enačba zadošča prej zapisanim pogojem:

Enačba predstavlja krožnico. Središče krožnice je v točki :

in , torej .

Polmer krožnice je .

Kako bi rešili zgoraj zastavljeno nalogo, če se pogojev in formul ne spomnimo? Ali obstaja še kakšna pot do rešitve?

Odgovor

Dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Zgornjo enačbo preoblikujemo v enačbo oblike :

  • dopolnimo do popolnega kvadrata (ena odštejemo, ker če odpravimo oklepaj, dobimo , torej eno več, kot je v začetnem izrazu);
  • podobno naredimo še za : (če odpravimo oklepaje, ugotovimo, da smo preveč prišteli, zato to število odštejemo);
  • dobimo enačbo:;
  • enačbo preuredimo in dobimo enačbo krožnice v premaknjeni legi ;
  • torej je središče krožnice res v točki in polmer enak .

Opisanemu postopku rečemo dopolnjevanja do popolnega kvadrata.

Primeri

Odgovori na vprašanja.

a)Dana je krožnica z enačbo . Izberi pravilno trditev. Namig
b)Dana je krožnica z enačbo . Izberi pravilno trditev. Namig
c)Dana je krožnica z enačbo . Izberi pravilno trditev. Namig



Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

Enačbo lahko preoblikuješ v

Enačbo lahko preoblikuješ v

Enačbo lahko preoblikuješ v

REŠITEV

Krožnica z enačbo ima središče v točki in polmer .

Krožnica z enačbo ima središče v točki in polmer .

Krožnica z enačbo ima središče v točki in polmer .

Napačno

Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.

Preoblikuj enačbo do popolnega kvadrata in izpiši koordinate središča ter polmer krožnice.

Preoblikuj enačbo do popolnega kvadrata in izpiši koordinate središča ter polmer krožnice.

Preoblikuj enačbo do popolnega kvadrata in izpiši koordinate središča ter polmer krožnice.

Risanje krožnice

Premica je natančno določena z dvema točkama. Trikotnik lahko narišemo, če imamo podane tri nekolinearne točke.

1)Najmanj koliko točk potrebujemo, da bo krožnica enolično določena?Namig
2)Koliko krožnic lahko narišemo skozi dve točki?Odgovor
3)Koliko krožnic lahko narišemo skozi tri nekolinearne točke?Odgovor

Razmisli, v kakšni povezavi sta trikotnik in trikotniku očrtana krožnica.

Skozi dve točki lahko narišemo poljubno mnogo krožnic, kar pomeni, da sta dve točki premalo, da bi lahko enolično narisali krožnico.

Če imamo podane tri nekolinearne točke, lahko enolično narišemo krožnico skozi tri podane točke. Zakaj?

Tri nekolinearne točke določajo trikotnik. Obstaja natanko ena krožnica, ki je trikotniku očrtana. To pomeni, da poteka skozi tri podane nekolinearne točke.

Risanje krožnice

Skozi tri nekolinearne točke poteka natanko ena krožnica. Spodaj je prikazana konstrukcija krožnice, če imamo podane tri nekolinearne točke.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naloge

1. naloga

Premikaj središče krožnice. S točko spreminjaš velikost polmera krožnice. S pomočjo animacije reši spodnje naloge.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

a)Krožnica s polmerom in s središčem v točki seka abscisno os.PravilnoNapačno
b)Krožnica s središčem v točki in polmerom se dotika osi .PravilnoNapačno
c)Krožnica s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in polmerom odreže na ordinatni osi odsek, dolg enote.PravilnoNapačno
d)Krožnica s središčem v točki in polmerom odreže na osi odsek, daljši od enot.PravilnoNapačno
e)Točka ne leži znotraj krožnice s polmerom enot in s središčem v točki .PravilnoNapačno

Pravilno. Dana krožnica seka os .

Nepravilno. Dana krožnica seka os .

Nepravilno. Krožnica se ne dotika osi , ampak osi .

Pravilno. Krožnica se ne dotika osi , ampak osi .

Nepravilno. Dana krožnica odreže odsek, dolg enot.

Pravilno. Dana krožnica odreže odsek, dolg enot.

Pravilno. Dana krožnica odreže odsek, dolg skoraj enote.

Nepravilno. Dana krožnica odreže odsek, dolg skoraj enote.

Pravilno. Točka leži znotraj dane krožnice.

Nepravilno. Točka leži znotraj dane krožnice.

Naloge

2. naloga

Izberi enačbo krožnice s središčem v točki in polmerom .



Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

3. naloga

Krožnica s središčem v točki poteka skozi točko . Izberi enačbo krožnice.


Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

4. naloga

Dana je krožnica z enačbo . Poišči središče krožnice in njen premer. Dano krožnico tudi nariši.


Preveri Slika krožnice

(naloga4.PNG)

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Središče krožnice je , premer pa .

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

5. naloga

Izberi enačbo krožnice, ki poteka skozi točke , in .


Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

6. naloga

Izberi enačbo krožnice na sliki.

(naloga6.PNG)



Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

7. naloga

Ugotovi, ali enačba predstavlja krožnico. Če jo predstavlja, potem poišči še polmer in središče krožnice.



Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Enačba predstavlja krožnico s središčem v točki in polmerom .

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

8. naloga

Ugotovi, ali enačba predstavlja krožnico. Če jo predstavlja, potem poišči še polmer in središče krožnice.



Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Enačba ne predstavlja krožnice, saj je preoblikovana enačba .

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

9. naloga

Ugotovi, ali enačba predstavlja krožnico. Če jo predstavlja, potem poišči še polmer in središče krožnice.



Preveri

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Enačba predstavlja krožnico s središčem v točki in polmerom .

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

10. naloga

Izberi enačbo krožnice, ki ima središče na ordinatni osi in se dotika premic ter . Krožnico in premici tudi nariši. Pomoč



Preveri Slika

(naloga8.PNG)

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Razmisli, kakšni sta dani premici in kolikšen je premer krožnice.

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

11. naloga

Izberi enačbo krožnice, ki poteka skozi točki in se dotika koordinatnih osi (odgovorov je lahko več). Rešitev tudi nariši.



Preveri Slika

(naloga9.PNG)

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Dobimo dve rešitvi in .

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.

Naloge

12. naloga

Izberi enačbo krožnice, ki se dotika premic z enačbama in . Središče krožnice leži na premici z enačbo . Rešitev tudi nariši.



Preveri Slika

(naloga10.PNG)

Odlično! Nalogo si rešil pravilno.

REŠITEV

Napačno

Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
0%
0%