Naraščanje in padanje zaporedij
Na začetku si poglejmo nekaj začetnih členov zaporedja, podanega s splošnim členom , in narišimo njegov graf.
Nekaj členov zaporedja:
Iz prvih desetih členov tega zaporedja lahko sklepamo, da gre za padajoče zaporedje, ki je navzgor omejeno s in navzdol z (Glej graf zaporedja).
Za zgornji primer to seveda drži, vendar o monotonosti in omejenosti nekega zaporedja ne moremo sklepati zgolj po nekaj začetnih členih.
Naraščanje in padanje zaporedij
Poglejmo še zaporedje in zapišimo nekaj njegovih začetnih členov ter si oglejmo njegov graf. , , , , . . . , , , , , , , . . .
Po petnajstih začetnih členih bi lahko sklepali, da je zgornje zaporedje naraščajoče. Ta sklep pa je seveda napačen, saj vidimo, da od šestnajstega člena naprej zaporedje pada (Glej graf zaporedja).
Naraščanje in padanje zaporedij
Naraščanje in padanje zaporedij
Pravila monotonosti
Funkcija je na intervalu naraščajoča, če za poljubni števili in s tega intervala velja:
.
Funkcija je na intervalu padajoča, če za poljubni števili in s tega intervala velja:
.
Kako dokazujemo naraščanje in padanje zaporedij?
Pokažimo, da je naše prvo zaporedje strogo padajoče.
Če je zgornja trditev resnična, potem velja, da je oz. .
Najprej izračunajmo . člen tako, da v -ti člen namesto vstavimo . Potem izračunajmo še razliko za poljubna dva sosednja člena.
Kakšen je naš sklep?
Sklenemo lahko, da je zaporedje podano s splošnim členom strogo padajoče.
Razmislek o predznaku zadnjega ulomka:
V števcu je negativno število, v imenovalcu pa produkt dveh naravnih števil, kar je naravno (in zato pozitivno) število. Kvocient negativnega in pozitivnega števila pa je negativno število.
Torej: oz. .
Monotonost zaporedij
Kateri od spodnjih grafov predstavlja graf strogo naraščajočega zaporedja?
Monotonost zaporedij
Splošne člene spodnjih zaporedij ustrezno razvrsti. Če bo rešitev pravilna, se ti bo izpisalo obvestilo.
| Naraščajoče zaporedje | |
| Padajoče zaporedje | |
| Padajoče zaporedje | |
| Zaporedje, ki ni monotono | |
| Naraščajoče zaporedje | |
| Zaporedje, ki ni monotono | |
| Naraščajoče zaporedje | |
| Padajoče zaporedje |
Spodnja in zgornja meja zaporedja
Vrnimo se na naš začetni primer in opazujmo njegovo omejenost.
Zaporedje je navzgor omejeno s , ker tega števila noben člen danega zaporedja ne preseže. Tudi drugo zaporedje je navzgor omejeno, ker števila ne preseže noben njegov člen.
Če pogledamo naš primer , lahko sklenemo, da je tudi število zgornja meja tega zaporedja. Pravzaprav ima to zaporedje neskončno mnogo zgornjih mej.
Vsako zaporedje, ki je navzgor omejeno, ima več zgornjih mej. Od teh pa je le ena najmanjša in to imenujemo natančna zgornja meja.
Spodnja in zgornja meja zaporedja
Pokažimo, da je zgornja meja zaporedja res enaka .
Če je zgornja trditev resnična, potem velja, da je oz. .
Izračunajmo .
Razmislimo o predznaku dobljenega ulomka:
Števec je za vsako naravno število negativen ali enak , imenovalec pa je pozitiven. Zato je in število je natančna zgornja meja zaporedja .
Katero od naštetih števil NI zgornja meja zaporedja, podanega s splošnim členom ?
Spodnja in zgornja meja zaporedja
Katero število je natančna spodnja meja zaporedja, podanega s splošnim členom ?
Vsako zaporedje, ki je navzdol omejeno, ima več spodnjih mej. Od teh pa je le ena največja in to imenujemo natančna spodnja meja.
Omejeno zaporedje
Zaporedje, podano s splošnim členom , je
Naloga1
Poveži splošne člene danih zaporedij z njihovimi pripadajočimi natančnimi spodnjimi mejami.
Naloga2
Poveži splošne člene danih zaporedij z njihovimi pripadajočimi natančnimi zgornjimi mejami.
Dodatne naloge 1
Ugotovi, ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče in odgovori na spodnji vprašanji.
| padajoče naraščajoče | |
| padajoče naraščajoče | |
| padajoče naraščajoče | |
| padajoče naraščajoče |
Kaj mora veljati za člene zaporedja, da bo zaporedje naraščajoče?
<
=
>
Kaj mora veljati za člene zaporedja, da bo zaporedje padajoče?
<
=
>
Zaporedje je naraščajoče.
Zaporedje je padajoče.
Zaporedje naraščajoče.
Zaporedje je naraščajoče.
Naraščajoče zaporedje: .
Padajoče zaporedje: .
Dodatne naloge 2
Poveži dana zaporedja s pripadajočimi spodnjimi mejami.
Pravilno. Naprej
Narobe. Poskusi ponovno
Dodatne naloge 3
Poveži dana zaporedja s pripadajočimi zgornjimi mejami.
Pravilno. Naprej
Narobe. Poskusi ponovno
Dodatne naloge 4
Ugotovi, ali so dana zaporedja omejena.
| Zaporedje je samo navzgor omejeno Zaporedje je samo navzdol omejeno Zaporedje je omejeno | |
| Zaporedje je samo navzgor omejeno Zaporedje je samo navzdol omejeno Zaporedje je omejeno | |
| Zaporedje je samo navzgor omejeno Zaporedje je samo navzdol omejeno Zaporedje je omejeno |
Rezultati
