Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Aritmetično zaporedje

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

http://www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Veverica in želodi

Veverica ima v duplini 5 želodov še iz pretekle zime. V pripravi nove zaloge vsak dan v duplino prinese tri nove želode.

Koliko želodov bo imela veverica čez tri in koliko čez deset dni? Pomagaj si s spodnjo sliko.

Čez tri dni bo imela

$9$ želodov

$7$ želodov

$14$ želodov

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Čez tri dni bo imela $14$ želodov.

Veverica in želodi

Seveda je slika pregleden prikaz, vendar bi se izkazala za precej nepraktično in zamudno, če bi recimo želeli izvedeti, koliko želodov bo imela veverica čez $56$ dni. Kako bi torej izračunali stanje po desetih dneh? In po $56$ dneh?

Čez deset dni bo imela $\cdot 3+5=$ želodov.

Čez 56 dni bo imela $56 \cdot$ $+5=$ želodov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Veverica bo imela po desetih dneh poleg začetne zaloge ( $5$ želodov) še $10$ krat po $3$ želode, torej skupaj $10\cdot3+5=35$ želodov.
Čez $56$ dni bo imela $56\cdot3+5=173$ želodov.

Preizkusi se

Poskusi nadaljevati naslednja zaporedja.

2, 4, 6, 8,
15, 11, 7, 3,
2; 3,5; 5; 6,5;

Preveri

Pomoč

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Naprej

Rešitev

$10$
$-1$
$8$

Narobe

Odgovor je napačen.

Pomoč

Zgoraj so navedeni trije primeri aritmetičnih zaporedij. V prvem in zadnjem primeru je vsak naslednji člen za $2$ oz. $1,5$ večji od prejšnjega, v drugem pa je vsak člen za $4$ manjši od prejšnjega.

Vsem trem zaporedjem je skupno to, da vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjemu prištejemo isto število (lahko tudi negativno).

Definicija

Zaporedje je aritmetično, če je razlika dveh zaporednih členov $a_{n+1} – a_n$ konstantna. To razliko imenujemo diferenca in jo označujemo z $d$ .

Za vsak $n\in \mathbb{N}$ torej velja

$a_{n+1}–a_n=d$ oz. $a_{n+1}=a_n+d$ .

Vsak naslednji člen aritmetičnega zaporedja dobimo tako, da prejšnjemu prištejemo diferenco.

Poskusi sam

Štiri števila iz prvega stolpca premakni(prepiši) v tretji stolpec tako, da bo nastalo petčleno padajoče aritmetično zaporedje. Prvi člen zaporedja je že v desnem stolpcu. Če boš števila pravilno razvrstil, te bo računalnik o tem obvestil, čim klikneš na gumb "Preveri".

-84	$a_1$ =	-112
-125	$a_2$ =
-164	$a_3$ =
-104	$a_4$ =
-151	$a_5$ =
-138

Preveri

Pravilno

Naprej

Rešitev

$a_2=-125$
$a_3=-138$
| $a_4=-151$
| $a_5=-164$

Napačno

Poskusi ponovno

Splošni člen aritmetičnega zaporedja

Ugotovili smo že, da lahko vsak člen aritmetičnega zaporedja dobimo tako, da njegovemu predhodniku prištejemo diferenco. Razmislimo ali za izračun poljubnega člena aritmetičnega zaporedja zadostujeta le prvi člen zaporedja in znana diferenca.

Če si pozorno sledil animaciji, si verjetno prišel do naslednjega sklepa:

Splošni člen aritmetičnega zaporedja je podan s formulo $a_n=a_1+(n-1)\cdot{d}$ .

Diferenca

Diferenca je razlika dveh zaporednih členov zaporedja.

Naloga

Dano je zaporedje $5$ , $3$ , $1$ , $–1$ , ... . Izračunaj $25$ . člen tega zaporedja.

$a_{25}$ =

Preveri

Pravilno

Rešitev

$a_{25}=5+(25–1)\cdot(–2)$ $a_{25}=5–48$ $a_{25}=–43$

$25$ . člen tega zaporedja je enak $–43$ .

Napačno

Namig:
Zaporedje je aritmetično s prvim členom $a_1 = 5$ in diferenco $d = –2$ . Zanima nas $25$ . člen, torej $a_{25}$ .

Naloga

Sedaj poskusi sam oblikovati podobne naloge. S pomočjo izbranega prvega člena zaporedja in izbrane diference izračunaj poljubni člen zaporedja. Rezultat preveri s programom spodaj.

Prvi člen =
Diferenca =
n =
$a_n =$

Lastnosti aritmetičnega zaporedja

Sedaj, ko že znaš izračunati splošni člen aritmetičnega zaporedja, si poglejmo nekatere lastnosti tega zaporedja.

Za začetek poišči začetni člen in diferenco aritmetičnih zaporedij, katerih splošna člena sta $a_n=n–2$ in $a_n=–2n+6$ ter nariši grafa zaporedij. Razmisli o lastnostih.

Pomagaš si lahko s spodnjo aplikacijo, ki izračuna splošni člen in nariše graf zaporedja.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Grafi zaporedij spominjajo na grafe funkcij. Zakaj

Graf prvega zaporedja Graf drugega zaporedja

Če bi točke grafa zaporedja $a_n=n–1$ med seboj povezali v premico, bi dobili graf linearne funkcije $f(x)=x–1$ , v drugem primeru (ko bi povezali točke grafa zaporedja $a_n=–2n+6$ ) pa bi dobili graf linearne funkcije $f(x)=–2x+6$ .

Graf prvega zaporedja

Graf drugega zaporedja

Monotonost in omejenost

Kviz

Kako je z monotonostjo aritmetičnih zaporedij?
Kakor vidiš, je prvo zaporedje strogo naraščajoče, drugo pa strogo padajoče. Kaj vpliva na to lastnost?

Začetni člen

Diferenca. V prvem primeru je ta pozitivna, v drugem pa negativna.

Ali je tudi sicer od diference odvisno, ali bo aritmetično zaporedje naraščajoče ali padajoče?

NE

DA

Preveri

Pravilno

Če želimo preveriti, ali je zaporedje naraščajoče ali padajoče, izračunamo razliko $a_{n+1} – a_n$ .

Če je ta pozitivna, je zaporedje strogo naraščajoče, če je negativna, pa strogo padajoče.

V aritmetičnem zaporedju je ta razlika vedno enaka diferenci: $a_{n+1} – a_n = d$ .

Če je torej diferenca pozitvna, je zaporedje naraščajoče, če je negativna, pa padajoče.

Napačno

Še enkrat poskusi.

Monotonost in omejenost

Razmisli še o omejenosti aritmetičnega zaporedja.

Premisli, kdaj je aritmetično zaporedje navzgor omejeno.

Zaporedje je navzgor omejeno, kadar obstaja tako realno število $M$ , da za poljubno naravno število $n$ velja: $a_n\geq{M}$

Zaporedje je navzgor omejeno, kadar obstaja tako realno število $M$ , da za poljubno naravno število $n$ velja: $a_n\leq{M}$

In kdaj je aritmetično zaporedje navzdol omejeno?

Zaporedje je navzdol omejeno, kadar obstaja tako realno število $m$ , da za poljubno naravno število $n$ velja: $a_n\leq{m}$ .

Zaporedje je navzdol omejeno, kadar obstaja tako realno število $m$ , da za poljubno naravno število $n$ velja: $a_n\geq{m}$ .

Sedaj pa razmisli, ali je lahko aritmetično zaporedje omejeno.

Zaporedje je omejeno, kadar je navzgor omejeno.

Zaporedje je omejeno, kadar je navzdol omejeno.

Zaporedje je omejeno, kadar je navzgor in navzdol omejeno.

Preveri

Pravilno

Zaporedje je navzgor omejeno, kadar obstaja tako realno število $M$ , da za poljubno naravno število $n$ velja: $a_n\leq{M}$
Denimo, da je aritmetično zaporedje $a_n$ naraščajoče. Za vsak naslednji člen prejšnjemu prištejemo pozitivno diferenco in slej ko prej pridemo čez vsako mejo $M$ .

Če pa je aritmetično zaporedje $a_n$ padajoče, potem za vsak naslednji člen prejšnjemu prištejemo negativno diferenco. Zgornja meja takega zaporedja je enaka prvemu členu: $a_1=M$ .

Aritmetično zaporedje je torej navzgor omejeno, ko je padajoče ali konstantno. V tem primeru je zgornja meja $M=a_1$ .

Zaporedje je navzdol omejeno, kadar obstaja tako realno število $m$ , da za poljubno naravno število $n$ velja: $a_n\geq{m}$ .

Denimo, da je aritmetično zaporedje $a_n$ padajoče. Za vsak naslednji člen prejšnjemu prištejemo negativno diferenco in slej ko prej pridemo pod vsako mejo $m$ .

Če pa je aritmetično zaporedje $a_n$ naraščajoče, potem za vsak naslednji člen prejšnjemu prištejemo pozitivno diferenco. Spodnja meja takega zaporedja je enaka prvemu členu: $a_1=m$ .

Aritmetično zaporedje je torej navzdol omejeno, ko je naraščajoče ali konstantno. V tem primeru je spodnja meja $m=a_1$ .

Zaporedje je omejeno, kadar je navzgor in navzdol omejeno.

Aritmetično zaporedje je omejeno, ko je hkrati naraščajoče in hkrati padajoče. Edina aritmetična zaporedja, ki ustrezajo obema zahtevama, so konstantna zaporedja.