V geometrijskem zaporedju je vsak naslednji člen krat večji od prejšnjega ( je količnik zaporedja). Ko seštevamo člene takšnega zaporedja na vsakem koraku k vsoti prištejemo prejšnji člen, pomnožen s količnikom. Ali lahko v enem koraku seštejemo prvih členov geometrijskega zaporedja?
Vsoto prvih členov zaporedja označimo z
Kako hitro potujejo novice
Vaška klepetulja je ob . uri izvedela za zadnjo novico in jo v eni uri sporočila trem svojim prijateljicam, tako da so jo ob . uri poznale že osebe. Prijateljice so v naslednji uri novico prenesle trem svojim prijateljicam, te pa po istem vzorcu naprej. Ob kateri uri bodo novico poznali vsi vaščani, če vas šteje ljudi?
Najprej poskusi sam izračunati, ob kateri uri bodo z novico seznanjeni vsi vaščani. Svoj rezultat preveri s slikami na naslednji strani.
Vaščani bodo novico izvedeli ob . uri.
|
|
|
|
Izpeljimo formulo
Še enkrat poskusi.
Izpeljimo formulo
Pri danem prvem členu in količniku lahko izračunamo poljubni člen geometrijskega zaporedja. Spomni se formule za splošni člen geometrijskega zaporedja.
Zapišimo vsoto prvih členov geometrijskega zaporedja.
Uporabimo formulo za splošni člen geometrijskega zaporedja in izpostavimo .
Sedaj predpostavimo, da količnik ni enak , in desno stran enakosti pomnožimo z ulomkom .
Splošni člen geometrijskega zaporedja pri danem prvem členu in količniku je enak
Izpeljimo formulo
Sedaj obravnavajmo primer, ko je .
Geometrijsko zaporedje v takšnem primeru izgleda takole:
, , , ...
Vsota členov takega zaporedja je enaka
Vsoto prvih n členov geometrijskega zaporedja izračunamo po formulah
Primera
Izračunaj vsoto prvih devetih členov geometrijskega zaporedja s prvim členom in količnikom .
Poskusi ponovno.
Primera
Poskusi ponovno.
S pomočjo formule za splošni člen geometrijskega zaporedja najprej izračunaj kateri po vrsti je zadnji člen. Tako boš dobil število .
Računalo
Na tej prosojnici imate računalo, ki izračuna vsoto prvih členov geometrijskega zaporedja pri danem prvem členu in količniku ter številu .
Rezultate prejšnjih dveh primerov preveri s spodnjo aplikacijo, pa tudi sam se lahko spomniš še kakšnega primera. Za decimalno vejico uporabljaj piko, sicer program ne deluje pravilno. Za prikaz rezultata pritisni Enter.
| Prvi člen = | |
| Količnik = | |
| n = | |
| Vsota = |
Primera
Koliko členov geometrijskega zaporedja s količnikom in tretjim členom je treba sešteti, da dobimo vsoto ?
Poskusi nalogo samostojno rešiti. Za pomoč si lahko ogledaš namig in vmesne rezultate.
Sešteti je treba členov geometrijskega zaporedja.
Poskusi ponovno. Pomagaj si z namigom.
Sešteti je treba členov zaporedja, da dobimo željeno vsoto.
Primera
Izračunajmo vsoto .
Poskusi nalogo samostojno rešiti. Za pomoč si lahko ogledaš namig in vmesne rezultate.
Vsota je
Poskusi ponovno. Pomagaj si z namigom.
