Spomnimo se kako izračunamo splošni člen in vsoto prvih členov aritmetičnega in geometrijskega zaporedja.

Poveži!

Preveri

V aritmetičnem zaporedju je razlika dveh zaporednih členov vedno enaka, označimo jo z .
V geometrijskem zaporedju pa je količnik dveh zaporednih členov vedno enak, označimo ga s .

Ponovimo še lastnost za geometrijsko in aritmetično sredino prvih treh členov v aritmetičnem in geometrijskem zaporedju.

Preizkusi svoje znanje in na spodaj poveži pravilni zvezi.

Preveri

Preberi spodnji stavek in ga dopolni.

Pri aritmetičnem zaporedju je drugi člen sredina prvega in tretjega člena.

Preveri

Ogledali si bomo tri različne primere, kjer nastopata geometrijski in aritmetični zaporedji skupaj.

Prvi primer

Drugi primer

Tretji primer

Če seštejemo prvih deset členov aritmetičnega zaporedja, dobimo vsoto . Četrti, šesti in deveti člen tega zaporedja sestavljajo geometrijsko zaporedje. Zapiši obe zaporedji.

Zapišimo podatke, ki jih poznamo.

Imamo aritmetično zaporedje:, , , ,... s prvim členom in diferenco .

Vemo, da je in, da členi , , tvorijo novo geometrijsko zaporedje.

Začnimo najprej z drugim podatkom in zapišimo po splošnem členu aritmetičnega zaporedja četrti, šesti in deveti člen , , .

Vemo, da nam ti členi določajo geometrijsko zaporedje:

Uporabimo geometrijsko sredino za prve tri člene geometrijskega zaporedja: ,

Prvi trije členi

vstavimo naše podatke: ,

poračunamo: ,

združimo podobne člene: ,

izpostavimo diferenco .

Od tod imamo za dve možnosti: in .

Dobili smo dve rešitvi. To ne pomeni nujno, da smo dobili dve zaporedji, izračunati moramo še prvi člen.

Izračunati še moramo prvi člen aritmetičnega zaporedja, zato uporabimo še prvi podatek in zapišimo vsoto prvih desetih členov aritmetičnega zap.: .

1. Obravnavajmo najprej prvo možnost . Vstavimo torej v podatke najprej za in dobimo: ,

seštejemo in zmnožimo, dobimo: ,

izrazimo prvi člen: .

Sedaj poznamo prvi člen in diferenco aritmetičnega zaporedja zato lahko zaporedje zapišemo.

Zapiši to zaporedje.

Aritmetično zaporedje: , , , , , , , , , ...

Preveri

Koliko so stari bratci na sliki in kako velike čevlje nosijo?

Bratci in njihovi škornji

Trije bratci so se rodili istega meseca. Njihovo starost nam predstavljajo trije zaporedni členi geometrijskega zaporedja. Številke njihovih čevljev pa zaporedne člene aritmetičnega zaporedja. Najstarejši bratec ima številko čevljev šestkrat večjo od števila let. Drugi bratec ima številko čevljev . Razlika med št. čevljev in starostjo najmlajšega bratca je , razlika med št. čevljev in starostjo pri drugih dveh bratcih pa je enaka. Izračunaj starosti in številke čevljev naših bratcev.

Najprej si zapišimo obe zaporedji:

Starosti bratcev nam predstavljajo geometrijsko zaporedje (leta): , ,

Številke čevljev pa nam predstavljajo aritmetično zaporedje: , , .

Zapišimo zveze med podatki iz teksta naloge.

Drugi bratec ima št. čevljev , kar pomeni, da je drugi člen v aritmetičnem zaporedju , to zapišemo: , izrazimo prvi člen: in ga vstavimo v člene aritmetičnega zaporedja.

Dobimo aritmetično zaporedje z neznano diferenco: .

Najmlajši bratec ima razliko med št. čevljev in starostjo , to zapišemo: ,

iz te enačbe izrazimo diferenco: .

Najstarejši bratec ima št. čevljev šestkrat večjo od starosti, kar pomeni: ,

vstavimo diferenco in izrazimo prvi člen: .

Razlika med št. čevljev in starostjo pri starejših bratcih je enaka: .

Poenostavimo enačbo, vstavimo diferenco in prvi člen: ,

odpravimo ulomke in poenostavimo, dobimo: ,

izračunamo diskriminanto: .

Po formuli za kvadratno enačbo dobimo rešitvi: in

Vstavimo količnik v izražen prvi člen in dobimo: in , ki ni rešitev, ker ni naravno število.

Vstavimo še prvi člen v izraženo diferenco in dobimo: .

Sedaj lahko zapišemo obe zaporedji.

Leta: ,,

Št. čevljev: ,,