Limita zaporedja
Limita zaporedja
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Limita zaporedja
Okolica
Za vpeljavo novega pojma limita zaporedja je potrebno definirati okolico točke.
Kaj si predstavljaš pod besedo okolica nečesa?
Namig
Okolica nečesa je tisto kar objekt obdaja.
Okolica točke
Sedaj si bomo ogledali okolico točke na številski premici.
Natančneje
Na številski premici si izberemo poljubno število . Okolico točke dobimo tako, da si izberemo poljubno majhno pozitivno število . Množico točk, ki so od točke oddaljene za manj kot epsilon, imenujemo - okolica točke . Hitro vidimo, da gre za točke z intervala . Pogoj, da točka leži v epsilon okolici točke , lahko na kratko zapišemo takole: .
Definicija okolice točke
Dodatna pojasnila v zvezi z okolicami
V primeru, da v kasnejšem pregledu gradiva naletite na nejasnosti v zvezi z okolicami , si podrobno poglejte dodatna pojsnila.
Naj bo pozitivno realno število in točka na realni osi. Kot smo že videli zgoraj, lahko epsilon okolico točke zapišemo na različne načine:
- z odprtim intervalom:
- z absolutno vrednostjo:
- z neenakostjo:
Dodatna pojasnila v zvezi z okolicami
Utrdimo povedano na dveh primerih.
1. Zapišimo v vseh treh oblikah -okolico točke števila , če je .
Označi števila, ki so v tem intervalu.
Oblike: - odprt interval: - absolutna vrednost: - neenakost: |
Pravilno
Napačno
Poskusi še enkrat.
Rešitev
Števila iz te epsilon okolice so: , , , , .
Dodatna pojasnila v zvezi z okolicami
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi. Pomagaj si z namigom.
Namig: Interval je širine (razdalja med krajiščema ).
Rešitev
in .
Limita zaporedja-slika
Pravilno
Narobe. Poskusi ponovno.
Pravilno
Narobe. Poskusi ponovno.
Primeri
Oglejmo si primere zaporedij.
Ali se vrednosti členov zaporedja približujejo neki vrednosti?
Primeri: Prvi primer
Zapišimo prvih nekaj členov zaporedja.
Kateri vrednosti se približujejo členi zaporedja?
Vrednosti se približujejo številu .
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Vrednosti se približujejo številu .
Primeri: Drugi primer
Zapišimo prvih nekaj členov zaporedja.
Kateremu številu se približujejo vrednosti členov zaporedja? Pomagaj si s sliko.
Vrednosti se približujejo številu .
Preveri
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Vrednosti se približujejo številu .
Primeri: Tretji primer
Pravilno
Napačno
Zaporedje ni navzgor omejeno.
Konvergentna in divergentna zaporedja
Zaporedje, ki ima limito, imenujemo konvergentno, če zaporedje nima limite je divergentno.
Dejstvo, da se členi zaporedja približujejo nekemu realnemu številu, bomo kasneje natančneje pojasnili.
Natančneje si oglejmo na naslednjem primeru.
Primer
Opazujmo zaporedje s splošnim členom .
Prvih par členov je zapisanih v tabeli.
Zaporedje je naraščujoče, členi se približujejo številu .
Večji člen opazujemo, bližje smo številu , zato rečemo, da je število limita našega zaporedja.
Opazujmo okolice števila .
Okolice števila
Posebej bomo pozorni na to, kateri členi zaporedja ležijo znotraj in kateri členi zaporedja ležijo zunaj obravnavane okolice.
Vzemimo npr. ; epsilon okolica točke je odprt interval .
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno. Pomagaj si s sliko.
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno. Pomagaj si s sliko.
Okolice števila
Zdaj pa bomo okolico manjšali, vzamemo npr. in poglejmo od katerega člena naprej so vsi členi znotraj naše epsilon okolice.
Stoti člen ima vrednost: , ; to pomeni, da je prvih sto členov zunaj okolice, vsi naslednji pa so znotraj nje, glej sliko spodaj.
Izven naše epsilon okolice je končno mnogo členov zaporedja.
V prvem primeru so bili zunaj epsilon okolice točke , le prvi trije členi, ko smo epsilon okolico zmanjšali, je bilo v drugem primeru še vedno zunaj okolice prvih sto členov, kar pomeni, da bomo lahko v vsakem primeru našli neki člen zaporedja, da bodo od njega naprej vsi členi v željeni okolici točke .
To ugotovitev nam omogoča natančneje definirati, kaj pomeni, da se členi bližajo številu : to pomeni, da so v vsaki okolici točke vsi členi zaporedja, razen morda končno mnogo začetnih členov.
Definicija limite
Število je limita neskončnega zaporedja če za vsako še tako majhno pozitivno število obstaja nako naravno število da za vsak velja:
Limito zaporedja zapišemo:
Vaja
Zdaj pa poskusi sam!
Na spodnji sliki ti rdeča točka predstavlja levi del -okolice števila . Z desnim gumbkom miške premikaj točko v levo ali desno med členom in številom ter opazuj, kaj se dogaja s členi zaporedja: koliko členov zaporedja je pri izbranem v -okolici števila in koliko izven nje?
Stekališče zaporedja
Najprej si oglej spodnji primer.
Oglejmo si zaporedje s splošnim členom: .
Vrednosti členov zaporedja so predstavljene na sliki.
Katerim vrednostim se približujejo členi zaporedja?
Sodi členi se približujejo številu .
Lihi členi se približujejo številu .
Zaporedjem pri katerih se členi gostijo okrog večih točk, rečemo, da imajo stekališča in ne limit.
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Sodi členi se približujejo številu .
Lihi členi se približujejo številu .
Stekališče zaporedja
Zdaj pa razmisli!
Ali lahko ima zaporedje več limit?
Pri limiti zaporedja morajo v epsilon okolici ležati vsi členi zaporedja, razen morda prvih nekaj. Pri stekališču pa zadošča, da v vsaki okolici leži neskončno mnogo členov.
Pravilno
Utemeljitev.
Če bi zaporedje imelo več limit bi bilo v okolici prve limite neskončno členov in v okolici druge tudi, kar pa je v protislovju z našo definicijo, da zunaj vsake okolice leži končno mnogo členov, torej ne moramo najti za vsako okolico limite takšnega člena, da bi od naslednjega člena naprej ležali vsi členi v tej okolici.
Napačno
Pravilni odgovor je NE. Če bi zaporedje imelo več limit bi bilo v okolici prve limite neskončno členov in v okolici druge tudi, kar pa je v protislovju z našo definicijo, da zunaj vsake okolice leži končno mnogo členov, torej ne moramo najti za vsako okolico limite takšnega člena, da bi od naslednjega člena naprej ležali vsi členi v tej okolici.
Stekališče zaporedja
Ugotovi pravilnost spodnjih izjav.
Limita zaporedja je tudi stekališče zaporedja.
Narobe Pravilno
Vsako stekališče zaporedja je tudi limita zaporedja.
Narobe Pravilno
Pravilno
Napačno
NamigNamigi
1. Opazuj št. členov zunaj in znotraj poljubne -okolice, pri limiti in pri stekališču.
2. Znotraj poljubne -okolice ima neskončno mnogo členov.
3. Glej primer z dvema stekališčema, zaporedje nima limite.
4. Zunaj poljubne okolice ima stekališče neskončno členov, limita pa le končno.
Vaja
Pravilno
Rešitev
Uporabili bomo zvezo med limito in -okolico: .
Vstavimo podatke in dobimo: ,
določimo skupni imenovalec v absolutni vrednosti: ,
poenostavimo: ,
odpravimo absolutno vrednost: ,
rešimo se ulomkov: ,
poenostavimo neenakost: ,
korenimo: ,
zaobkrožimo in dobimo: , ker je naravno število so v -okolici vsi členi zaporedja od naprej, torej , ,...
Pomoč
Za člene zaporedja z limito , ki ležijo v -okolici velja:
za vsako naravno število .
Vaja
Pravilno
Rešitev
Splošni člen zaporedja je .
Uporabimo zvezo: ,
vstavimo podatke: ,
odpravimo absolutno vrednost: ,
odpravimo ulomke: ,
logaritmiramo: ,
rešimo neenačbo: ,
zaokrožimo:.
Zunaj -okolice leži prvih devet členov.
Pomoč
Za člene zaporedja z limito , ki ležijo v -okolici velja:
za vsako naravno število .
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Zaporedje je konvergentno, limita je .
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Zaporedje je konvergentno, limita je .Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Zaporedje je konvergentno, limita je .
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Zaporedje je konvergentno, limita je .Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Zaporedje je konvergentno, limita je .Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Zaporedje je konvergentno, limita je .Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
| ne obstaja | |
| ne obstaja | |
| ne obstaja | |
| ne obstaja | |
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
| zaporedje je divergentno |
