Najprej bomo spoznali neskončno vrsto, šele nato bomo govorili o geometrijski vrsti.
Poznamo že pojem končna vrsta. Končna vrsta nekega zaporedja je vsota prvih členov tega zaporedja.
Oznaka:
V nadaljevanju bomo seštevali neskončno členov.
Neskončna geometrijska vrsta
Neskončna geometrijska vrsta
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Končna vrsta
Primer - vsota ploščin
Na spodnji sliki imamo pravokotnike in kvadrate. Izračunali bomo njihove ploščine. Zanima nas ali je mogoče sešteti ploščine vseh kvadratov in pravokotnikov iz slike.
Ploščina kvadrata: .
Ploščina pravokotnika: .
Ploščine kvadratov iz slike:
Ploščine pravokotnikov iz slike:
Ploščine kvadratov in pravokotnikov izmenično nam predstaljajo neskončno zaporedje:
Pološčine vseh pravokotnikov in kvadratov na sliki bomo poskušali sešteti:
Kaj meniš ali obstaja vsota?
Pravilno
Utemeljitev: Pozni členi so zanemarljivo majhni in njihovi prispevki na končno vsoto so vedno manjši, skupna vsota se zato vedno bolj bliža neki vrednosti v tem primeru ploščini velikega pravokotnika v katerem ležijo vsi pravokotniki in kvadrati.
Napačno
Utemeljitev: Vsota obstaja. Pozni členi so zanemarljivo majhni in njihovi prispevki na končno vsoto so vedno manjši, skupna vsota se zato vedno bolj bliža neki vrednosti v tem primeru ploščini velikega pravokotnika v katerem ležijo vsi pravokotniki in kvadrati.
Vrsta
O vrsti govorimo tedaj kadar želimo sešteti neskončno členov nekega zaporedja.
To zapišemo tako:
Včasih člene neskončnega zaporedja lahko seštejemo, včasih pa ne. Podrobnosti si bomo ogledali v nadaljevanju.
vsota vseh členov , kjer teče od do neskončno.
Primer
Pravilno
Utemeljitev: Vrednosti členov se hitro večajo.
Napačno
Utemeljitev: Vsota ne obstaja, ker se vrednosti členov hitro večajo.
Kdaj obstaja?
Pogledali bomo delne vsote zaporedja:
Kdaj obstaja?
Včasih se zgodi, da je zaporedje delnih vsot: konvergentno, kar pomeni, da se pozni členi približujejo nekemu številu, torej obstaja limita tega zaporedja. Limito zaporedja delnih vsot označimo s in zapišemo:
Kadar obstaja limita zaporedja delnih vsot rečemo, da je vrsta: konvergentna z vsoto , kar pomeni, da lahko seštejemo neskončno členov zaporedja, kadar pa limita delnih vsot ne obstaja, je vrsta divergentna in ne moremo sešteti neskončno členov zaporedja.
Primer 1
Zapišimo delne vsote:
Opazujemo zaporedje: .
Zanima nas ali je zaporedje konvergentno?
Zato izračunamo limito:
Limita je enaka , kar pomeni, da je .
Vsota vseh ploščin kvadratov in pravokotnikov iz zgornjega primera je enaka , kar se lepo vidi tudi iz slike, saj kvadrati in pravokotniki ležijo v celoti v pravokotniku dolžine in širine , njegova ploščina je .
Primer 2
Zapišimo delne vote:
Opazujemo zaporedje: , torej zaporedje: , , , ,...
Zanima nas ali je zaporedje konvergentno?
Zaporedje je divergentno, limita ne obstaja, zato tudi vsota vrste ne obstaja.
Definicija
Imamo podano neskončno geometrijsko zaporedje , , , ,..
Znamo že sešteti končno členov geometrijskega zaporedja: .
Sedaj pa bi radi sešteli vse člene neskončnega geometrijskega zaporedja:
Člene zaporedja izrazimo s prvim členom in količnikom.
Neskončno geometrisko vrsto zapišemo:
Označimo krajše:
Kjer je prvi člen geometrijskega zaporedja in količnik .
Konvergenco konkretne vrste je težko videti. Pri geometrijski vrsti pa je to preprosteje. Izpeljali bomo kriterij, ki nam pove ali je geometrijska vrsta konvergentna ali ne.
Konvergenca
Kdaj je neskončna geometrijska vrsta konvergentna?
V zgornjih primerih smo imeli dve geometrijski zaporedji:
1. Primer: , , , ,...
2. Primer: , , , ,...
V prvem primeru je vrsta konvergirala v drugem pa ne.
Od česa je v geometrijskem zaporedju odvisno ali vrsta konvergira ali ne si bomo pogledali v nadaljevanju.
Kakšen je pogoj, da je geometrijsko zaporedje padajoče? Kakšen je pogoj, da je geometrijsko zaporedje naraščajoče? Od česa bo odvisna konvergenca geometrijske vrste? Poveži!
Pravilno
Rešitev
Da bo geometrijsko zaporedje padajoče mora biti količnik med in .Da bo geometrijsko zaporedje naraščajoče mora biti količnik večji od .
Konvergenca geometrijske vrste je odvisna od količnika.
Napačno
Poskusi še enkrat.
Izpeljava geometrijske vrste
Poglejmo kdaj obstaja in kolikšna je.
Vemo, da je vrsta konvergentna, če obstaja limita delnih vsot.
je -ta delna vsota, ki je enaka vsoti prvih členov geometrijskega zaporedja: , če je .
Poglejmo kaj je z limito vsote .
Najprej vstavimo enačbo za končno vsoto, potem pomnožimo števec, nato uporabimo pravilo za razliko limite.
Limita bo obstajala, če bo limita potenčnega zaporedja obstajala, ta pa obstaja, če je osnova potence med in .
Torej, če je je je: .
Povzetek
Naj bo , , ,... geometrijsko zaporedje.
Neskončna geometrijska vrsta:
, če je .
Primeri
Pravilno
Povzetek rešitve:
Najprej zapišemo par členov: ,
nato izračunamo količnik ,
ker je med in , je vrsta konvergentna.
Vsoto izračunamo:
V obrazec vstavimo podatke in dobimo:
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Najprej zapišemo par členov: ,
nato izračunamo količnik ,
ker je med in , je vrsta konvergentna.
Vsoto izračunamo:
V obrazec vstavimo podatke in dobimo:
Primeri
2. primer
Izračunaj peti člen geometrijskega zaporedja, če je neskončna vsota , količnik pa .
Pravilno
Povzetek rešitve:
Za izračun petega člena, je nujno potrebno najprej izračunati prvi člen, ki ga dobimo s formolo za neskončno vrsto .
Vstavimo podatke: ,
odštejemo v števcu, odpravimo dvojne ulomke:
in izrazimo prvi člen: .
Peti člen izračunamo po splošnem členu za geometrijsko zaporedje: .
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za izračun petega člena, je nujno potrebno najprej izračunati prvi člen, ki ga dobimo s formolo za neskončno vrsto .
Vstavimo podatke: ,
odštejemo v števcu, odpravimo dvojne ulomke:
in izrazimo prvi člen: .
Peti člen izračunamo po splošnem členu za geometrijsko zaporedje: .
Primeri
Pravilno
Povzetek rešitve:
Najprej izpišimo podatke: , in količnik .
Vstavimo v obrazec za neskončno vsoto in dobimo eksponentno enačbo: ,
odpravimo ulomek: ,
združimo sorodne člene:
in pretvorimo na enako osnovo: ,
enačimo eksponenta in dobimo rešitev .
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Najprej izpišimo podatke: , in količnik .
Vstavimo v obrazec za neskončno vsoto in dobimo eksponentno enačbo: ,
odpravimo ulomek: ,
združimo sorodne člene:
in pretvorimo na enako osnovo: ,
enačimo eksponenta in dobimo rešitev .
Primeri
Pravilno
Povzetek rešitve:
Trikotniki, ki jih včrtamo, so vedno manjši, zato so tudi njihove ploščine vedno manjše in skupna vsota se zato bliža neki vrednosti.
Ploščine posameznih trikotnikov nam predstavljajo neskončno geometrijsko zaporeje .
Ploščino največjega trikotnika označimo s ,
ploščina naslednjega s polovično stranico:
Vsoto vseh ploščin označimo: ,
predstavlja nam neskončno geometrijsko vrsto s prvim členom in količnikom .
Vsota vseh ploščin je zato: .
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Trikotniki, ki jih včrtamo, so vedno manjši, zato so tudi njihove ploščine vedno manjše in skupna vsota se zato bliža neki vrednosti.
Ploščine posameznih trikotnikov nam predstavljajo neskončno geometrijsko zaporeje .
Ploščino največjega trikotnika označimo s ,
ploščina naslednjega s polovično stranico:
Vsoto vseh ploščin označimo: ,
predstavlja nam neskončno geometrijsko vrsto s prvim členom in količnikom .
Vsota vseh ploščin je zato: .
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
| +... | |
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Pravilno
Rešitev
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
5. naloga
Žogico spustimo z višine m, pri vsakem odboju izgubi procentov višine. Kolikšno pot opravi pri padanju in dviganju?
Odgovor: m.
Pravilno
Rešitev
Žogica opravi pot m.Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
6. naloga
Kvadratu s stranico cm včrtamo krožnico, krožnici nato včrtamo kvadrat tako, da ima oglišča na stranicah prvega kvadrata, kvadratu spet včrtamo krožnico in tako naprej postopek nadaljujemo. Kolikšna je vsota ploščin kvadratov in kolikšna je vsota ploščin krogov, ki nastanejo?
Vsota ploščin kvadratov je .
Vsota ploščin krogov je .
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno.
Rešitev
Vsota ploščin kvadratov je .
Vsota ploščin krogov je .
