Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Pravilno

Napačno

Pomagaj si s spodnjo animacijo. Živali premikaj s pomocjo modrih pik.

Riš datoteka

Rešitev

Živali se lahko postavijo v vrsto na $24$ različnih načinov.

Pravilno

Take razporeditve so:

- pes, miš, zajec, mačka,
- miš, pes, zajec, mačka,
- mačka, zajec, pes, miš in
- mačka, zajec, miš, pes.

Napačno

Pomagaj si s spodnjo animacijo. Živali premikaj s pomocjo modrih pik.

Riš datoteka

Rešitev

Take razporeditve so $4$. To so:

- pes, miš, zajec, mačka,
- miš, pes, zajec, mačka,
- mačka, zajec, pes, miš in
- mačka, zajec, miš, pes.

Pravilno

Za prvo mesto imamo ŠEST možnosti, za drugo mesto PET, za tretje mesto ŠTIRI, za četrto mesto TRI, za peto mesto DVE IN za zadnje mesto le še ENO možnost. Torej lahko prispejo na cilj na $6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720$ različnih načinov.

Napačno

Za prvo mesto imamo ŠEST možnosti, za drugo mesto PET možnosti,...

Rešitev

Za prvo mesto imamo ŠEST možnosti, za drugo mesto PET, za tretje mesto ŠTIRI, za četrto mesto TRI, za peto mesto DVE IN za zadnje mesto le še ENO možnost. Torej lahko prispejo na cilj na $6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Tekači lahko prispejo na cilj na $6!$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

3! = 3*2*1 = 6

4! = 4*3*2*1 = 24

5! = 5*4*3*2*1 = 120

6! = 6*5*4*3*2*1 = 720

7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040

8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320

9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880

10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800

Pravilno

Odlično!

Napačno

To pa ne bo držalo! Pravilno si rešil le od 6 primerov.

Rešitev

1. $5 \cdot 4!= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5!$
2. $5 \cdot 4 \cdot 3!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5!$
3. $2! \cdot 3!=2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=12$
4. $\frac{5!}{5}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5}=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=4!$
5. $\frac{6!}{3!}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!}=6 \cdot 5 \cdot 4=120$
6. $\frac{8!}{6!}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!}=8 \cdot 7$

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Za prvo mesto imamo PET možnosti, za drugo mesto ŠTIRI, za tretje mesto TRI, za četrto mesto DVE IN za peto mesto ENO možnost. Torej lahko knjige razporedimo na $5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Za prvo mesto imamo $n$ možnosti, za drugo $n – 1$ možnosti, za tretje $n – 2$ možnosti, ..., za $(n – 1)$-vo mesto $2$ možnosti IN za $n$-to mesto $1$ možnost. Torej lahko kroglice razporedimo v vrsto na $n (n – 1) (n – 2) ·$ ... $· 2 · 1 = n!$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Pravilno

Odlično!

Napačno

Poskusi ponovno. Pravilno si rešil le od 3 primerov.

Rešitev

1. Na $3!=6$ različnih načinov.
2. Na $6!=720$ različnih načinov.
3. $7!=5040$ različnih besed.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Preštejmo vse možne razporeditve: FMMM, MFMM, MMFM, MMMF, pri čemer smo s F označili fizikalno, z M pa matematično knjigo. Knjige torej lahko razporedimo na $4$ različne načine. Kako pa bi to izračunali? Če bi bile matematične knjige med seboj različne, bi v vrsto razporejali štiri različne knjige, za kar bi imeli $P_4 = 4!$ različnih možnosti. Ker pa so $3$ knjige med seboj enake, je vseh možnih razporeditev $3!$-krat manj, kot bi jih bilo, če bi bile vse knjige med seboj različne. Torej lahko naše knjige razporedimo na $\frac{4!}{3!}=\frac{4 \cdot 3!}{3!}=4$ različne načine.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Na knjižno polico razporejamo deset knjig. Če bi bile vse med seboj različne, bi jih lahko razporedili na $P_{10} = 10!$ različnih načinov. Če imamo pri eni od $10!$ permutacij $4$ enake knjige na določenih mestih in jih med sabo zamenjamo – permutiramo (na $4!$ načinov), dobimo isto permutacijo s ponavljanjem. Zato je teh $4!$-krat manj. Torej lahko knjige razporedimo na $\frac{10!}{4!}=151200$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Na knjižno polico razporejamo $n$ knjig. Če bi bile vse med seboj različne, bi jih lahko razporedili na $P_n = n!$ različnih načinov. Če imamo pri eni od $n!$ permutacij $k$ enakih knjig na določenih mestih in jih med sabo zamenjamo – permutiramo (na $k!$ načinov), dobimo isto permutacijo s ponavljanjem. Zato je teh $k!$-krat manj. Torej lahko knjige razporedimo na $\frac{n!}{k!}$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Na knjižno polico razporejamo $n$ knjig. Če bi bile vse med seboj različne, bi jih lahko razporedili na $P_n = n!$ različnih načinov. Ker je $k_1$ fizikalnih knjig med seboj enakih, je možnih razporeditev $k_1!$-krat manj. Ker je tudi $k_2$ matematičnih knjig med seboj enakih, je možnih razporeditev še $k_2!$-krat manj. Torej lahko knjige razporedimo na $\frac{n!}{k_1! \cdot k_2!}$ različnih načinov.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

AABC

AACB

ABAC

ABCA

ACAB

ACBA

BAAC

BACA

BCAA

CAAB

CABA

CBAA

Pravilno

Odlično!

Napačno

Poskusi ponovno. Pravilno si rešil od treh primerov.

Rešitev

1. Na $\frac{7!}{3!}=840$ različnih načinov.
2. Na $\frac{8!}{2! \cdot 4!}=840$ različnih načinov.
3. $\frac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!}=1260$ različnih besed.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno ali poglej rešitev.

Rešitev

Zarja razporeja frnikule v vrsto. Tri različne zelene, dve različni rdeči in štiri različne modre frnikule lahko razporedi na 9 ! = 362880 različnih načinov. Tri različne zelene, dve različni rdeči in štiri enake modre frnikule lahko razporedi na 9 !/ 4 = 15120 različnih načinov. Tri različne zelene, dve enaki rdeči in štiri enake modre frnikule lahko razporedi na 9 !/( 2 ! · 4 !) = 7560 različnih načinov. Tri enake zelene, dve enaki rdeči in štiri enake modre frnikule pa lahko razporedi na 9 !/( 3 ! · 2 ! · 4 !) = 1260 različnih načinov.

Pravilno

Točno! Razporejamo vseh DEVET med seboj različnih fotografij, pri čemer JE vrstni red pomemben. Torej računamo število permutacij brez ponavljanja devetih elementov. Fotografije lahko razporedijo na $P_9 = 9! = 362880$ različnih načinov.
Nalogo pa lahko rešimo tudi s pravilom produkta:

Napačno

Ne bo držalo! Razporejamo vseh DEVET med seboj različnih fotografij, pri čemer JE vrstni red pomemben. Na koliko različnih načinov torej lahko razstavimo fotografije?

Pravilno

Točno! Na začetku razporedimo v vrsto vse ŠTIRI med seboj različne fotografije z ladje (na $4!$ različnih načinov) IN za njimi obe DVE med seboj različni fotografiji iz Aten (na $2!$ različnih načinov) IN na koncu vse TRI med seboj različne fotografije s Santorinija (na $3!$ različnih načinov). Fotografije torej lahko razporedimo na različnih načinov. Nalogo pa lahko rešimo tudi s pravilom produkta:

V tabeli so z L označene fotografije z Ladje, z A fotografije iz Aten in s S fotografije s Santorinija.)

Napačno

Ne bo držalo! Na začetku razporedimo v vrsto vse ŠTIRI med seboj različne fotografije z ladje (na $4!$ različnih načinov) IN za njimi obe DVE med seboj različni fotografiji iz Aten (na $2!$ različnih načinov) IN na koncu vse TRI med seboj različne fotografije s Santorinija (na $3!$ različnih načinov). Na koliko različnih načinov torej lahko razstavimo fotografije?

Pravilno

Točno! Fotografije, ki jih razstavljamo, so nastale v TREH različnih krajih (na ladji, v Atenah in na Santoriniju). Skupine fotografij torej lahko permutirajo na $3!$ različnih načinov. Hkrati lahko permutirajo tudi vse ŠTIRI med seboj različne fotografije z ladje (na $4!$ različnih načinov) IN obe DVE med seboj različni fotografiji iz Aten (na $2!$ različnih načinov) IN vse TRI med seboj različne fotografije s Santorinija (na $3!$ različnih načinov). Fotografije torej lahko razporedimo na $3! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 3!=6 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 6=1728$ različnih načinov.

Napačno

Ne bo držalo! Fotografije, ki jih razstavljamo, so nastale v TREH različnih krajih (na ladji, v Atenah in na Santoriniju). Skupine fotografij torej lahko permutirajo na 3! različnih načinov. Hkrati lahko permutirajo tudi vse ŠTIRI med seboj različne fotografije z ladje (na $4!$ različnih načinov) IN obe DVE med seboj različni fotografiji iz Aten (na $2!$ različnih načinov) IN vse TRI med seboj različne fotografije s Santorinija (na $3!$ različnih načinov). Na koliko različnih načinov torej lahko razstavimo fotografije?

Pravilno

Točno! Fotografije s Santorinija morajo stati skupaj, zato vzemimo te tri fotografije kot en element. Vseh možnih razporeditev je v tem primeru $7!$. Hkrati lahko permutirajo tudi vse tri fotografije s Santorinija, in sicer na $3!$ različnih načinov. Fotografije torej lahko razporedimo na $7! \cdot 3!=5040 \cdot 6=30240$ različnih načinov.

Napačno

Ne bo držalo! Fotografije s Santorinija morajo stati skupaj, zato vzemimo te tri fotografije kot en element. Vseh možnih razporeditev je v tem primeru $7!$. Hkrati lahko permutirajo tudi vse tri fotografije s Santorinija, in sicer na $3!$ različnih načinov. Na koliko različnih načinov torej lahko razporedimo fotografije?

Pravilno

Točno! Razporejamo vseh DEVET fotografij, med katerimi so ŠTIRI fotografije z ladje med seboj enake, enako velja za TRI fotografije s Santorinija. Vrstni red razporejanja JE pomemben. Torej računamo število permutacij s ponavljanjem devetih elementov, kjer se en element ponovi štirikrat, drugi pa trikrat. Fotografije lahko razporedijo na $P_{9}^{4,3}=\frac{9!}{4! \cdot 3!}=\frac{362880}{24 \cdot 6}=2520$ različnih načinov.

Napačno

Ne bo držalo! Razporejamo vseh DEVET fotografij, med katerimi so ŠTIRI fotografije z ladje med seboj enake, enako velja za TRI fotografije s Santorinija. Vrstni red razporejanja JE pomemben. Na koliko različnih načinov torej lahko razporedimo fotografije?

Naši dijaki so ves teden izmenjevali fotografije tako, da so domov prinesli poln album, ki jih bo spominjal na nepozabna doživetja.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

KRT, KTR, RKT, RTK, TKR in TRK

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

AAARR, AARAR, AARRA, ARAAR, ARARA, ARRAA, RAAAR, RAARA, RARAA, RRAAA

Pravilno

Napačno

b) odgovor je napačen.

Napačno

a) odgovor je napačen.

Napačno

Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.

Rešitev

Odgovor a): 5040
Odgovor b): 1440

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Odgovor je 60.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Odgovor je 3628800.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Odgovor je 40320.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Odgovor je 4320.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Odgovor je 30240.

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev