A si že kdaj razmišljal, na koliko različnih načinov lahko v tvojem razredu določite predsednika, tajnika in blagajnika? V tem poglavju se bomo naučili izračunati število razporeditev nekaj izmed danih elementov (npr. ljudi, živali, števil, črk ...) v vrsto.
Variacije
Variacije
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Živali na dopustu
Zajec, pes, mačka in miš so se skupaj prijavili na nagradno igro "Gremo na dopust". Zadeli so prvo in drugo nagrado. Prva nagrada je bila čofotanje v morju (za eno "osebo"), druga nagrada pa zabava na smučeh (tudi za eno "osebo"). Na koliko različnih načinov si lahko razdelijo nagradi?
Pravilno
Rešitev
Živali si lahko razdelijo nagradi na različnih načinov.
Živali na dopustu
Ker sta pes in mačka ter mačka in miš ˝eksplozivni kombinaciji˝, ta dva para živali ne smeta ostati skupaj doma. Koliko od naštetih izborov je takih, pri katerih ne bo prišlo do incidenta med živalma, ki bosta ostali doma?
Pravilno
Rešitev
Takih izborov je .
Variacije
V prvotni nalogi smo razmišljali o tem, na koliko različnih načinov lahko iz množice štirih živali izberemo dve živali. Pri tem je vrstni red izbranih dveh živali pomemben, saj se situacija, ko nekdo letuje na morju in gre drugi smučat, seveda loči od možnosti, ko sta vlogi zamenjani.
Take izbore določenega števila elementov iz neke večje množice elementov, kjer je vrstni red pomemben, imenujemo variacije. V našem primeru gre za variacije na množici štirih elementov (celotna množica je sestavljena iz štirih živali) reda 2 (izbiramo dve živali). V drugem delu naloge smo med dobljenimi 12 variacijami na množici 4 elementov reda 2 iskali tiste, ki so zagotavljale mir med živalma, ki sta ostali doma.
Dogovorimo se.
Variacije
Povejmo še natančneje:
Tudi naloge tega poglavja lahko rešiš s pomočjo pravila produkta. Da pa si bomo reševanje nalog tega tipa poenostavili, bomo spet izpeljali dva zelo uporabna obrazca.
Variacije brez ponavljanja
V dosedanjem razmišljanju se elementi, ki smo jih izbirali (v našem primeru so to bile živali), niso smeli ponavljati: tista žival, ki letuje na morju, ne more istočasno tudi smučati. Včasih je smiselno, da dovolimo, da se nek izbor ponovi večkrat. O teh tako imenovanih variacijah s ponavljanjem se bomo pogovorili kasneje. Zdaj pa bomo obravnavali variacije brez ponavljanja, torej variacije, kjer se izbori ne smejo ponavljati.
Nogometaši
Nogometni klub Žogobrc prodaja tri nogometaše. Na koliko različnih načinov jih lahko proda petim nogometnim klubom, če lahko vsakemu nogometnemu klubu proda največ enega?
Na različnih načinov.
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za prvega nogometaša imamo PET možnosti, za drugega ŠTIRI IN za tretjega TRI. Torej jih lahko prodajo na različnih načinov.
| 1. NOGOMETAŠ | in | 2. NOGOMETAŠ | in | 3. NOGOMETAŠ | |
Še o nogometaših
Nogometni klub Žogobrc prodaja tri nogometaše. Na koliko različnih načinov jih lahko proda n nogometnim klubom, če lahko vsakemu nogometnemu klubu proda največ enega?
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za prvega nogometaša imamo n možnosti, za drugega IN za tretjega . Torej jih lahko prodajo na različnih načinov.
| 1. NOGOMETAŠ | in | 2. NOGOMETAŠ | in | 3. NOGOMETAŠ | |
Še vedno o nogometaših
Nogometni klub Žogobrc prodaja nogometašev. Na koliko različnih načinov jih lahko proda nogometnim klubom, če lahko vsakemu nogometnemu klubu proda največ enega?
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za prvega nogometaša imamo možnosti, za drugega , za tretjega ... IN za –tega oz. možnosti. Torej jih lahko prodajo na različnih načinov.
| 1. NOGOMETAŠ | in | 2. NOGOMETAŠ | in | 3. NOGOMETAŠ | in | in | -ti NOGOMETAŠ | ||
Ugotovitev
Ugotovili smo.
Natanko izmed elementov (ljudi, živali, knjig, števil ...), ki se ne smejo ponavljati, lahko razporedimo v vrsto na
različnih načinov. (Z označimo število variacij brez ponavljanja na množici z elementi reda .)
Z drugimi besedami: število variacij brez ponavljanja na množici z elementi reda je
Pri tem se elementi v množici in izbrani elementi ne ponavljajo.
Reši sam
Katere so vse variacije brez ponavljanja na množici elementov A, B, C in D drugega reda.
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
AB
AC
AD
BA
BC
BD
CA
CB
CD
DA
DB
DC
Test
1. Na koliko različnih načinov lahko na konjski dirki osmih konjev ti osvojijo prva tri mesta?
2. Na izbiro imamo šest različnih daril. Na koliko različnih načinov lahko obdarimo štiri otroke, če vsak izmed otrok dobi natanko eno darilo?
3. Koliko različnih besed s štirimi črkami lahko sestavimo iz črk besede NOGAVICE, če se črke ne smejo ponavljati?
Pravilno
Odlično!
Napačno
Poskusi ponovno. Pravilno si rešil od treh primerov.
Variacije s ponavljanjem
V naslednjih primerih boš spet razporejal v vrsto le nekaj izmed danih elementov, vendar se bodo ti lahko ponavljali. Preden pa se lotimo naslednjih nalog, poglejmo, kakšna je razlika med primeri, kjer se elementi ne ponavljajo in kjer se ti lahko ponavljajo. Iz črk A, B in C delamo vse možne zloge dolžine 2. Vrstni red je pomemben. Leva stran tabele predstavlja zloge, v katerih se črke ne smejo ponavljati, desna stran tabele pa tiste zloge, v katerih se črke lahko ponavljajo.
| Zlogi dolžine 2 iz črk A, B in C, kjer se črke ne smejo ponavljati | Zlogi dolžine 2 iz črk A, B in C, kjer se črke lahko ponavljajo |
| AB, AC BA, BC CA, CB | AA, AB AC, BA BB, BC CA, CB CC |
Variacije s ponavljanjem
Na levi strani tabele smo dobili variacije na množici treh elementov reda brez ponavljanja, na desni strani tabele pa variacije na množici treh elementov reda s ponavljanjem. Zdaj pa se lotimo naslednjih primerov.
Igračke
Na koliko različnih načinov lahko petim otrokom razdelimo tri različne plišaste igračke?
Na različnih načinov.
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za prvo igračko imamo PET možnosti, za drugo tudi PET (ker v nalogi ni omejitve, da bi lahko vsak otrok dobil največ eno igračko) IN za tretjo PET. Torej jih lahko razdelimo na različnih načinov.
| 1. IGRAČKA | in | 2. IGRAČKA | in | 3. IGRAČKA | |
Še o igračkah
Na koliko različnih načinov lahko n otrokom razdelimo tri različne plišaste igračke?
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za prvo igračko imamo možnosti, za drugo tudi (ker v nalogi ni omejitve, da bi lahko vsak otrok dobil največ eno igračko) IN za tretjo . Torej jih lahko razdelimo na različnih načinov.
| 1. IGRAČKA | in | 2. IGRAČKA | in | 3. IGRAČKA | |
Še vedno o igračkah
Na koliko različnih načinov lahko otrokom razdelimo različnih plišastih igračk?
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Za prvo igračko imamo možnosti, za drugo tudi (ker v nalogi ni omejitve, da bi lahko vsak otrok dobil največ eno igračko), za tretjo ... IN za -to možnosti. Torej jih lahko razdelimo na različnih načinov.
| 1. IGRAČKA | in | 2. IGRAČKA | in | 3. IGRAČKA | in | in | -ta IGRAČKA | ||
Ugotovitev
Ugotovili smo.
Natanko izmed elementov (ljudi, živali, knjig, števil ...), ki se lahko ponavljajo, lahko razporedimo v vrsto na
različnih načinov. (S označimo število variacij s ponavljanjem na množici z elementi reda .
Z drugimi besedami: število variacij s ponavljanjem na množici z elementi reda je
Pri tem se izbrani elementi lahko ponavljajo.
Test
1. Koliko različnih izidov je možnih pri treh zaporednih metih igralne kocke?
2. Na izbiro imamo štiri različne knjige. Na koliko različnih načinov lahko obdarimo šest dijakov?
3. Koliko različnih "besed" s tremi črkami lahko sestavimo iz črk besede NOGAVICE, če se lahko črke ponavljajo?
Pravilno
Odlično!
Napačno
Poskusi ponovno. Pravilno si rešil od treh primerov.
Zapomni si
Dopolni
Pazljivo preberi besedilo in ga dopolni.
Na prvi razredni uri dvaindvajset dijakov izbira predsednika, tajnika in blagajnika. Če lahko vsak od dijakov opravlja največ eno funkcijo, lahko izberejo na !/ ! = različnih načinov. Če lahko vsak od dijakov opravlja tudi po več funkcij, pa lahko izberejo na 3= različnih načinov.
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno.
Rešitev
Na prvi razredni uri dvaindvajset dijakov izbira predsednika, tajnika in blagajnika. Če lahko vsak od dijakov opravlja največ eno funkcijo, lahko izberejo na 22 !/ 19 ! = 9240 različnih načinov. Če lahko vsak od dijakov opravlja tudi po več funkcij, pa lahko izberejo na 22^3= 10648 različnih načinov.
Kviz
Tretji dan bivanja na otoku so se naši dijaki, ki smo jih spoznali že v prejšnjih poglavjih, odločili, da bodo priredili kviz.
Naši maturanti so se razdelili v tri skupine po šest tekmovalcev. Skupine so poimenovali z grškimi črkami: ALFA, BETA in GAMA. Razredničarko so prosili, če lahko pripravi vprašanja, in kviz se je pričel. Pomagaj dijakom odgovoriti na vprašanja, ki jim jih je postavila njihova razredničarka.
Koliko različnih besed s petimi črkami lahko sestavimo iz črk A, I, N, O, R, S in T?
Pravilno
Točno! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se lahko ponavljajo (ker v nalogi ni nobene omejitve, da se črke ne bi smele ponavljati). Torej računamo število variacij s ponavljanjem na množici s sedmimi črkami petega reda. Besedo lahko sestavimo na različnih načinov. Nalogo pa lahko rešimo tudi s pomočjo pravila produkta.
| 1. ČRKA | in | 2. ČRKA | in | 3. ČRKA | in | 4. ČRKA | in | 5. ČRKA | |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
Napačno
Ne bo držalo! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se lahko ponavljajo (ker v nalogi ni nobene omejitve, da se črke ne bi smele ponavljati). Torej računamo število variacij s ponavljanjem na množici s sedmimi črkami petega reda. Koliko različnih besed lahko sestavimo?
Kviz
Koliko različnih besed s petimi črkami pa lahko sestavimo iz črk A, I, N, O, R, S in T, če se te ne smejo ponavljati?
|
Pravilno
Točno! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se ne smejo ponavljati. Torej računamo število variacij brez ponavljanja na množici s sedmimi črkami petega reda. Besedo lahko sestavimo na različnih načinov. Nalogo pa lahko rešimo tudi s pomočjo pravila produkta.
| 1. ČRKA | in | 2. ČRKA | in | 3. ČRKA | in | 4. ČRKA | in | 5. ČRKA | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
Napačno
Ne bo držalo! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se ne smejo ponavljati. Torej računamo število variacij brez ponavljanja na množici s sedmimi črkami petega reda. Koliko različnih besed lahko sestavimo?
Kviz
Koliko različnih besed s petimi črkami, ki se začnejo s S, lahko sestavimo iz črk A, I, N, O, R, S in T?
Pravilno
Točno! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se lahko ponavljajo (ker v nalogi ni nobene omejitve, da se črke ne bi smele ponavljati). V nalogi imamo dodaten pogoj, da se mora beseda začeti s S. To pomeni, da moramo določiti le še preostale ŠTIRI črke. Torej računamo število variacij s ponavljanjem na množici s sedmimi črkami četrtega reda. Besedo lahko sestavimo na različnih načinov. Nalogo pa lahko rešimo tudi s pomočjo pravila produkta.
| 1. ČRKA (S) | in | 2. ČRKA | in | 3. ČRKA | in | 4. ČRKA | in | 5. ČRKA | |
| 1 | 7 | 7 | 7 | 7 |
Napačno
Ne bo držalo! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se lahko ponavljajo (ker v nalogi ni nobene omejitve, da se črke ne bi smele ponavljati). V nalogi imamo dodaten pogoj, da se mora beseda začeti s S. To pomeni, da moramo določiti le še preostale ŠTIRI črke. Torej računamo število variacij s ponavljanjem na množici s sedmimi črkami četrtega reda. Koliko različnih besed lahko sestavimo?
Kviz
Koliko različnih besed s petimi črkami, ki se končajo s samoglasnikom, lahko sestavimo iz črk A, I, N, O, R, S in T, če se te ne smejo ponavljati?
Pravilno
Točno! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se ne smejo ponavljati. V nalogi imamo dodaten pogoj, da se mora beseda končati s samoglasnikom (za zadnjo črko imamo 3 možnosti: A, I ali O). Hkrati moramo določiti še preostale ŠTIRI črke. (Število teh je enako številu variacij brez ponavljanja na množici s šestimi črkami četrtega reda: .) Torej lahko besedo sestavimo na različnih načinov.
Nalogo pa lahko rešimo tudi s pomočjo pravila produkta.
| 1. ČRKA | in | 2. ČRKA | in | 3. ČRKA | in | 4. ČRKA | in | 5. ČRKA (A, I ali O) | |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 3 |
Napačno
Ne bo držalo! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se ne smejo ponavljati. V nalogi imamo dodaten pogoj, da se mora beseda končati s samoglasnikom (za zadnjo črko imamo 3 možnosti: A, I ali O). Hkrati moramo določiti še preostale ŠTIRI črke. (Število le-teh je enako številu variacij brez ponavljanja na množici s šestimi črkami četrtega reda: .) Koliko različnih besed lahko sestavimo?
Kviz
To so bila vsa predvidena vprašanja. Ker pa sta bili skupini BETA in GAMA izenačeni, se je razredničarka odločila, da bo zmagala tista skupina, ki bo strla še malo trši oreh.
Koliko različnih besed s petimi črkami, ki se naprej in nazaj berejo enako, lahko sestavimo iz črk A, I, N, O, R, S in T?
|
Dijaki so napenjali možgane in računali. Izid je bil zelo tesen, zmagovalna skupina BETA pa se je veselila še celo noč.
Pravilno
Točno! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se lahko ponavljajo (ker v nalogi ni nobene omejitve, da se črke ne bi smele ponavljati). V nalogi je dodaten pogoj, da se besede, ki jih sestavljamo, berejo naprej in nazaj enako. To pomeni, da s tem, ko določimo prvo črko, zadnja črka že določena. In ko določimo drugo črko, smo s tem hkrati določili tudi predzadnjo črko. Torej moramo določiti le prve TRI črke besede. Zato računamo število variacij s ponavljanjem na množici s sedmimi črkami tretjega reda. Besedo lahko sestavimo na različnih načinov.
Nalogo pa lahko rešimo tudi s pomočjo pravila produkta.
| 1. ČRKA | in | 2. ČRKA | in | 3. ČRKA | in | 4. ČRKA (enaka kot 2.črka) | in | 5. ČRKA (enaka kot 1.črka) | |
| 7 | 7 | 7 | 1 | 1 |
Napačno
Ne bo držalo! Izmed SEDMIH črk razporejamo po PET črk in vrstni red razporejanja JE pomemben. Črke se lahko ponavljajo (ker v nalogi ni nobene omejitve, da se črke ne bi smele ponavljati). V nalogi je dodaten pogoj, da se besede, ki jih sestavljamo, berejo naprej in nazaj enako. To pomeni, da s tem, ko določimo prvo črko, zadnja črka že določena. In ko določimo drugo črko, smo s tem hkrati določili tudi predzadnjo črko. Torej moramo določiti le prve TRI črke besede. Zato računamo število variacij s ponavljanjem na množici s sedmimi črkami tretjega reda. Koliko različnih besed lahko sestavimo?
Dodatne naloge
Pravilno
Napačno
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
2. naloga
Iz črk besede STOL zapiši
a) vse variacije brez ponavljanja tretjega reda
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Dodatne naloge
2. naloga
Iz črk besede STOL zapiši
b) vse variacije s ponavljanjem drugega reda.
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Dodatne naloge
3. naloga
Koliko različnih besed s petimi črkami lahko sestavimo iz črk besede MOJSTER, če
a) se črke ne smejo ponavljati,
b) se črke lahko ponavljajo?
Odgovor a): Sestavimo lahko različnih besed.
Odgovor b): Sestavimo lahko različnih besed.
Pravilno
Napačno
b) odgovor je napačen.
Napačno
a) odgovor je napačen.
Napačno
Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.
Dodatne naloge
4. naloga
Koliko različnih besed s štirimi črkami, ki se začnejo s soglasnikom, lahko sestavimo iz črk besede ROGLJIČEK, če
a) se črke ne smejo ponavljati,
b) se črke lahko ponavljajo?
Odgovor a): Sestavimo lahko različnih besed.
Odgovor b): Sestavimo lahko različnih besed.
Pravilno
Napačno
b) odgovor je napačen.
Napačno
a) odgovor je napačen.
Napačno
Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.
Dodatne naloge
5. naloga
Na koliko različnih načinov lahko izberemo tri kepice sladoleda, če imamo na izbiro deset različnih okusov sladoleda, vrstni red izbiranja je pomemben in
a) kepice morajo biti različnih okusov,
b) so lahko kepice tudi enakega okusa?
Odgovor a): Izberemo lahko na različnih načinov.
Odgovor b): Izberemo lahko na različnih načinov.
Pravilno
Napačno
b) odgovor je napačen.
Napačno
a) odgovor je napačen.
Napačno
Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.
Dodatne naloge
6. naloga
Na koliko različnih načinov lahko iz kompleta igralnih kart zaporedoma izvlečemo dve karti, če
a) izvlečeno karto vrnemo, preden izvlečemo naslednjo,
b) izvlečene karte ne vrnemo, preden izvlečemo naslednjo?
Odgovor a): Na različnih načinov.
Odgovor b): Na različnih načinov.
Pravilno
Napačno
b) odgovor je napačen.
Napačno
a) odgovor je napačen.
Napačno
Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.
Dodatne naloge
7. naloga
Na koliko različnih načinov lahko učitelj v razredu z dijaki določi predsednika, tajnika in blagajnika, če lahko
a) vsak dijak opravlja le eno funkcijo,
b) vsak dijak opravlja tudi več funkcij?
Odgovor a): Na različnih načinov.
Odgovor b): Na različnih načinov.
Pravilno
Napačno
b) odgovor je napačen.
Napačno
a) odgovor je napačen.
Napačno
Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.
