Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Kombinacije

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

http://www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

A si kdaj razmišljal, koliko različnih peterk lahko sestavi tvoj učitelj telovadbe za tekmovanje v košarki? V tem poglavju se bomo naučili izračunati, na koliko načinov lahko iz neke množice elementov izberemo manjšo skupino elementov. Pri tem poznamo tako število ( $n$ ) elementov celotne množice kot tudi število ( $r$ ) elementov v skupini.

Živali čofotajo

Zajec, pes, mačka in miš so se sončili ob bazenu. Ker je bazen premajhen za vse štiri, so se odločili, da bodo v parih čofotali po bazenu. Na koliko različnih načinov lahko izberejo par, ki bo šel prvi v vodo?

Na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Pomagaj si s spodnjo animacijo. Živali premikaj s pomočjo modrih pik.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Rešitev

Živali lahko izberejo par na $6$ različnih načinov.

Živali čofotajo

Ker sta pes in mačka ter mačka in miš ˝eksplozivni kombinaciji˝, ta dva para živali ne smeta biti skupaj niti v bazenu niti ob bazenu. Koliko od naštetih izborov je takih, pri katerih ne bo prišlo do incidenta?

Taka izbora sta .

Preveri

Pravilno

Napačno

Pomagaj si s spodnjo animacijo. Živali premikaj s pomočjo modrih pik.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Rešitev

Taka izbora sta $2$ . To sta:

- mačka, zajec in
- miš, pes.

Kombinacije

V uvodni nalogi smo razmišljali o tem, na koliko različnih načinov lahko iz množice štirih živali izberemo dve živali. Pri tem vrstni red izbranih dveh živali ni bil pomemben. Take izbore določenega števila elementov iz neke večje množice elementov imenujemo kombinacije. V našem primeru gre za kombinacije na množici štirih elementov (celotna množica je sestavljena iz štirih živali) reda $2$ (izbiramo dve živali). V drugem delu naloge smo med dobljenimi $6$ kombinacijami na množici $4$ elementov reda $2$ iskali tiste, ki so zagotavljale mir v bazenu in ob njem.

Dogovorimo se:

Izbore določenega števila elementov iz celotne množice elementov imenujemo KOMBINACIJE. Pri tem vrstni red izbranih elementov NI pomemben.

Kombinacije

Povejmo še natančneje:

Izbore skupine $r$ elementov iz množice z $n$ elementi imenujemo kombinacije na množici z $n$ elementi reda $r$ . Znova poudarimo, da pri izbiranju vrstni red izbranih elementov ni pomemben.

Kombinacije brez ponavljanja

Tudi v tem poglavju bomo izpeljali obrazec, ki nam bo pomagal pri nalogah, v katerih bomo izbirali nekaj izmed danih elementov, ki se ne smejo ponavljati.

Izlet v Piran

Izlet na Bled

Izlet v živalski vrt

Izlet v Piran

Družina Slovenc se vsako nedeljo odpravi na izlet, vendar zaradi omejenega prostora v avtomobilu na izlet ne morejo vsi. Na koliko različnih načinov lahko mama in oče izbereta tri izmed petih otrok (z imeni: Vid, Anja, Mojca, Lana in Peter), ki bodo šli na izlet v Piran to nedeljo?

Na različnih načinov.

Preveri

Dogovor

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Dogovor

Zaradi enostavnejšega zapisa vpeljimo naslednjo oznako:

$\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}={n \choose r}$

Simbol imenujemo binomski simbol in beremo " $n$ nad $r$ ".

Rešitev

Naštejmo vse možne trojice:

1. Vid, Anja, Mojca
2. Vid, Anja, Lana
3. Vid, Anja, Peter
4. Vid, Mojca, Lana
5. Vid, Mojca, Peter
6. Vid, Lana, Peter
7. Anja, Mojca, Lana
8. Anja, Mojca, Peter
9. Anja, Lana, Peter
10. Mojca, Lana, Peter

To so vse možnosti, saj nas zanima le to, kateri otroci bodo šli na izlet. Vrstni red izbiranja pa za nas ni pomemben. Torej lahko mama in oče izbereta trojico na $10$ različnih načinov.

Kako pa bi to izračunali?

Če bi bil vrstni red izbiranja pomemben, bi izmed petih otrok lahko izbrali tri otroke na $V_5^3=\frac{5!}{2!}$ različnih načinov. Vendar pa tokrat vrstni red ni pomemben: izbor Anja, Vid, Mojca je isti izbor kot Mojca, Vid, Anja. Vsako trojico smo torej brez potrebe šteli tolikokrat, kot je permutacij množice s tremi elementi. Zato imamo pri vsaki trojici po P3-krat manj možnosti, kot bi jih imeli, če bi bil vrstni red izbiranja pomemben. Torej lahko otroke izberemo na $\frac{V_5^3}{P_3}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}=10$ različnih načinov.

Vaja

Označi pravilne odgovore.

${5 \choose 3}$

$\frac{5!}{2! \cdot 3!}$

$\frac{3!}{2! \cdot 5!}$

$\frac{2!}{3! \cdot 5!}$

${7 \choose 4}$

$\frac{7!}{2! \cdot 4!}$

$\frac{4!}{3! \cdot 7!}$

$\frac{7!}{3! \cdot 4!}$

${9 \choose 0}$

$0$

ne obstaja

$1$

Preveri

Pravilno

Odlično!

Napačno

Poskusi ponovno. Pravilno si rešil od treh primerov.

Izlet na Bled

Družina Slovenc se nekaj let kasneje vozi na nedeljske izlete s kombijem. Na koliko različnih načinov lahko mama in oče izbereta šest izmed desetih otrok, ki bodo šli na izlet na Bled to nedeljo? Z uporabo dogovora reši spodnjo nalogo.

Na različnih načinov.

Preveri

Dogovor

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Če bi bil vrstni red izbiranja pomemben, bi lahko izbrali na $V_{10}^6=\frac{10!}{4!}$ različnih načinov. Ker vrstni red izbiranja ni pomemben, pa imamo pri vsaki šesterici po $P_6$ -krat manj možnosti, kot bi jih imeli, če bi bil vrstni red izbiranja pomemben (ker lahko ŠEST elementov permutira na $P_6$ različnih načinov). Torej lahko otroke izberemo na $\frac{V_{10}^6}{P_6}=\frac{10!}{4! \cdot 6!}={10 \choose 6}=210$ različnih načinov.

Dogovor

Zaradi enostavnejšega zapisa vpeljimo naslednjo oznako:

$\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}={n \choose r}$

Simbol imenujemo binomski simbol in beremo " $n$ nad $r$ ".

Izlet v živalski vrt

Z uporabo dogovora reši spodnjo nalogo.

Še nekaj let kasneje se družina Slovenc odloči, da bo šla na izlet v živalski vrt. Na koliko različnih načinov lahko mama in oče izbereta $r$ izmed n otrok, ki bodo šli na izlet to nedeljo?

Na ${r \choose n}$ različnih načinov.

Na $n!$ različnih načinov.

Na ${n \choose r}$ različnih načinov.

Dogovor

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Če bi bil vrstni red izbiranja pomemben, bi lahko izbrali na $V_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$ različnih načinov. Ker vrstni red izbiranja ni pomemben, pa imamo pri vsaki $r$ -terici po $P_r$ -krat manj možnosti, kot bi jih imeli, če bi bil vrstni red izbiranja pomemben (ker lahko $r$ elementov permutira na $P_r$ različnih načinov). Torej lahko otroke izberemo na $\frac{V_n^r}{P_r}=\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}={n \choose r}$ različnih načinov.

Dogovor

Zaradi enostavnejšega zapisa vpeljimo naslednjo oznako: $\frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}={n \choose r}$

Simbol imenujemo binomski simbol in beremo " $n$ nad $r$ ".

Ugotovitev

Ugotovili smo.

Iz množice z $n$ elementi lahko izberemo množico z $r$ elementi (ljudmi, knjigami, števili, ...) na

$C_n^r={n \choose r}$

različnih načinov. (S $C_n^r$ označimo število kombinacij brez ponavljanja na množici z $n$ elementi reda $r$ .)

Z drugimi besedami: število kombinacij na množici z $n$ elementi reda $r$ je $C_n^r={n \choose r}$ .

Pri tem se elementi v množici in izbrani elementi ne ponavljajo.

Reši sam

Zapiši vse kombinacije brez ponavljanja na množici elementov A, B, C, D in E tretjega reda.

ABC, ABD, ABE, ACD ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCE, BDE, CDE

ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Test

1. Trener mora pred pričetkom tekme izbrati pet od devetih košarkarjev. Na koliko različnih načinov lahko izbere?

Na ${5 \choose 9}$ različnih načinov.

Na ${9 \choose 5}$ različnih načinov.

2. Na koliko različnih načinov lahko izberemo dva izmed osmih ponujenih izbirnih predmetov?

Na ${8 \choose 2}$ različnih načinov.

Na ${2 \choose 8}$ različnih načinov.

3. Na koliko različnih načinov lahko iz kompleta 52 igralnih kart hkrati potegnemo pet kart?

Na ${5 \choose 52}$ različnih načinov.

Na ${52 \choose 5}$ različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Odlično!

Napačno

Poskusi ponovno. Pravilno si rešil od treh primerov.

Zapomni si

Povezava

V naslednjih nalogah uporabi in poveži znanje iz pravila vsote in produkta, permutacij, variacij in kombinacij. Najprej združimo najpomembnejše ugotovitve.

Pri permutacijah razporejamo VSE dane elemente, pri variacijah in kombinacijah pa izbiramo le NEKAJ izmed danih elementov.
Pri permutacijah in variacijah JE vrstni red razporejanja pomemben, pri kombinacijah pa vrstni red izbiranja NI pomemben.

Povezava

Poglejmo primerjavo med permutacijami, kombinacijami in variacijami še na konkretnem primeru.

PERMUTACIJE brez ponavljanja elementov A, B, C	VARIACIJE brez ponavljanja elementov A, B, C drugega reda	KOMBINACIJE brez ponavljanja elementov A, B, C drugega reda
ABC, ACB, BAC BCA, CAB, CBA	AB, AC, BA BC, CA, CB	AB, AC, BC

Zdaj pa je že skrajni čas, da pogledamo, kako so maturanti, ki smo jih srečali že v prejšnjih poglavjih, preživeli preostanek zabavnega izleta.

Na otoku

Četrti dan bivanja na otoku so dijaki imeli sestanek, na katerem je Rok predlagal, da bi izbrali tri predstavnike razreda, ki bi poskrbeli, da bi bilo urejeno vse glede organizacije zabave, da bi bili vsi dijaki pravočasno obveščeni o vsem, kar se dogaja na otoku, in da bi v šolo prinesli dovolj fotografij za objavo v šolskem časopisu. Nad idejo je bilo navdušenih vseh osemnajst dijakov.

Na koliko različnih načinov so lahko dijaki določili organizatorja, obveščevalca in fotografa, če je lahko imel vsak od dijakov največ eno zadolžitev?

Na $4896$ različnih načinov.

Na $816$ različnih načinov.

Na $5832$ različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Točno! Razporejamo TRI od OSEMNAJSTIH dijakov, pri čemer JE vrstni red pomemben (saj je pomembno, kdo bo organizator, kdo obveščevalec in kdo fotograf). Torej računamo število variacij brez ponavljanja (vsak od dijakov lahko ima največ eno zadolžitev) na množici z osemnajstimi dijaki tretjega reda. Za določitev zadolžitev torej obstaja $V_{18}^3=\frac{18!}{15!}=4896$ različnih načinov.
Nalogo pa lahko rešimo tudi s pomočjo pravila produkta:

ORGANIZATOR	in	OBVEŠČEVALEC	in	FOTOGRAF
18	$\cdot$	17	$\cdot$	16	$=4896$

Napačno

Ne bo držalo! Razporejamo TRI od OSEMNAJSTIH dijakov, pri čemer JE vrstni red pomemben (saj je pomembno, kdo bo organizator, kdo obveščevalec in kdo fotograf). Torej računamo število variacij brez ponavljanja. Na koliko različnih načinov lahko dijakom določimo omenjene funkcije?

Na otoku

Po sestanku se je osem deklet in deset fantov odpravilo v eno od bližnjih diskotek. Tam so spoznali še maturante s treh drugih srednjih šol. Dogovorili so se, da se bodo naslednji dan srečali in organizirali športno tekmovanje.

Na koliko različnih načinov lahko naših osemnajst maturantov določi petčlansko ekipo, ki bo sodelovala na tekmovanju?

$8568$ različnih besed.

$90$ različnih besed.

$1028160$ različnih besed.

Preveri

Pravilno

Točno! Izmed OSEMNAJSTIH dijakov jih izbiramo PET in vrstni red izbiranja NI pomemben. Torej računamo število kombinacij na množici z osemnajstimi dijaki petega reda. Torej so lahko izbrali ekipo na ${18 \choose 5}=\frac{18!}{5! \cdot 13!}=8568$ različnih načinov.

Napačno

Ne bo držalo! Izmed OSEMNAJSTIH dijakov jih izbiramo PET in vrstni red izbiranja NI pomemben. Torej računamo število kombinacij. Na koliko različnih načinov lahko določimo ekipo?

Na otoku

Na koliko različnih načinov lahko dijaki določijo petčlansko ekipo, če morata biti v ekipi dve dekleti in trije fantje ali dva fanta in tri dekleta?

$5880$ različnih besed.

$12$ različnih besed.

$70560$ različnih besed.

Igrišče ob obali

Preveri

Pravilno

Točno! Dijaki lahko izmed OSMIH dijakinj izberejo DVE IN izmed DESETIH dijakov TRI ALI izmed DESETIH dijakov DVA IN izmed OSMIH deklet TRI. Vrstni red izbiranja NI pomemben, zato računamo število kombinacij. Torej lahko ekipo izberejo na ${8 \choose 2} \cdot {10 \choose 3}+{10 \choose 2} \cdot {8 \choose 3}=\frac{8!}{2! \cdot 6!} \cdot \frac{10!}{3! \cdot 7!} +\frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{8!}{3! \cdot 5!}=28 \cdot 120+45 \cdot 56=5880$ različnih načinov.

Napačno

Ne bo držalo! Dijaki lahko izmed OSMIH dijakinj izberejo DVE IN izmed DESETIH dijakov TRI ALI izmed DESETIH dijakov DVA IN izmed OSMIH deklet TRI. Vrstni red izbiranja NI pomemben, zato računamo število kombinacij. Na koliko različnih načinov lahko določimo ekipo?

Na otoku

Dijaki so pričeli s košarkarskim turnirjem. Odločili so se, da se bodo vse štiri ekipe pomerile vsaka z vsako natanko enkrat.

Koliko tekem bodo odigrale športne ekipe?

$6$ tekem

$4$ tekme

$12$ tekem

Preveri

Pravilno

Točno! Za vsako tekmo potrebujemo dve športni ekipi. Torej število tekem dobimo tako, da izračunamo, na koliko različnih načinov lahko izberemo DVE ekipi izmed ŠTIRIH, kjer vrstni red izbiranja NI pomemben. Torej računamo število kombinacij iz množice s štirimi ekipami drugega reda. Športne ekipe bodo odigrale ${4 \choose 2}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=6$ tekem.

Napačno

Ne bo držalo! Za vsako tekmo potrebujemo dve športni ekipi. Torej število tekem dobimo tako, da izračunamo, na koliko različnih načinov lahko izberemo DVE ekipi izmed ŠTIRIH, kjer vrstni red izbiranja NI pomemben. Torej računamo število kombinacij. Koliko tekem bodo odigrale ekipe?

Na otoku

Pred začetkom tekmovanja so navijači na deset enakih majic zapisali na vsako po eno črko tako, da bodo ob navijanju sestavili ime svoje navijaške skupine: RAZGRAJAČI.
Na koliko različnih načinov si lahko navijači razdelijo majice?

Na $302400$ različnih načinov.

Na $3628800$ različnih načinov.

Na $10000000000$ različnih načinov.

Priljubljen kotiček naših maturantov

Preveri

Navijači so športno navijali, naši tekmovalci pa so drugim pokazali, kdo je najboljši. Ko so predlagali, da bi se naslednji dan spet dobili, in sicer na nogometnem turnirju, so maturantje drugih treh srednjih šol povesili nosove in razočarani odšli. Naši dijaki so kljub temu še naprej uživali in se nato polni lepih spominov odpravili proti domu.

Pravilno

Točno! Med navijače razporejamo vseh DESET majic, med katerimi so TRI majice s črko A enake, enako velja za DVE majici s črko R. Vrstni red razporejanja JE pomemben, torej računamo število permutacij s ponavljanjem desetih elementov, kjer se en element ponovi trikrat, drugi pa dvakrat. Majice si lahko razdelijo na $P_{10}^{3,2}=\frac{10!}{3! \cdot 2!}=302400$ različnih načinov.

Napačno

Ne bo držalo! Med navijače razporejamo vseh DESET majic, med katerimi so TRI majice s črko A enake, enako velja za DVE majici s črko R. Vrstni red razporejanja JE pomemben, torej računamo število permutacij s ponavljanjem. Na koliko različnih načinov lahko razdelimo majice?

Dodatne naloge

1. naloga

Poveži!

${7 \choose 2}$

$C_8^5$

Počisti

$21$

$56$

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Dodatne naloge

2. naloga

Zapiši vse kombinacije brez ponavljanja tretjega reda črk besede ŽLICA.

ACI, ACL, ACŽ, AIL, AIŽ, ALŽ, CIL, CIŽ, ILŽ

ACI, ACL, ACŽ, AIL, AIŽ, ALŽ, CIL, CIŽ, CLŽ

ACI, ACL, ACŽ, AIL, AIŽ, ALŽ, CIL, CIŽ, CLŽ, ILŽ

Pravilno

Napačno

Dodatne naloge

3. naloga

Na turnirju petih šolskih nogometnih ekip se je vsaka ekipa pomerila z vsako.
Koliko tekem je bilo odigranih na turnirju?

Odigranih je bilo tekem.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Odigranih je bilo 10 tekem.

Dodatne naloge

4. naloga

Aljaž je na zabavo povabil svojih pet prijateljev. Koliko rokovanj je bilo, če se je rokoval vsak z vsakim?

Bilo je rokovanj.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Bilo je 15 rokovanj.

Dodatne naloge

5. naloga

Na razpis za prosto delovno mesto prodajalca se je prijavilo sedem žensk in osem moških. Na koliko različnih načinov lahko delodajalec izbere tri ženske ali tri moške?

Izbere lahko na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Na 91 različnih načinov.

Dodatne naloge

6. naloga

Na voljo imamo deset različnih okusov sladoleda in pet različnih prelivov. Na koliko različnih načinov lahko izberemo tri kepice sladoleda različnih okusov in en preliv?

Izberemo lahko na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Na 600 različnih načinov.

Dodatne naloge

7. naloga

V vrečki imamo pet različnih modrih frnikul in sedem različnih rdečih frnikul.

a) Na koliko različnih načinov lahko izvlečemo štiri frnikule?

b) Koliko različnih potegov vsebuje eno modro in tri rdeče frnikule?

Odgovor a): Na različnih načinov.

Odgovor b): Na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

b) odgovor je napačen.

Napačno

a) odgovor je napačen.

Napačno

Poskusi ponovno. Oba odgovora sta napačna.

Dodatne naloge

8. naloga

V gostišču ”Na vrhu hriba” imamo na izbiro pet različnih vrst mesa in sedem različnih dodatkov. Na koliko različnih načinov lahko izberemo dve vrsti mesa in tri dodatke?

Izberemo lahko na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Na 350 različnih načinov.

Dodatne naloge

9. naloga

Vito dopolnjuje svojo garderobo. Na koliko različnih načinov lahko izbere tri od šestih srajc, štiri od petih hlač in dva od sedmih klobukov?

Izbere lahko na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Na 2100 različnih načinov.

Dodatne naloge

10. naloga

Na koliko različnih načinov lahko izberemo tričlansko komisijo, če izbiramo med desetimi moškimi in štirimi ženskami, v komisiji pa mora sodelovati vsaj ena ženska?

Izbere lahko na različnih načinov.

Preveri

Pravilno

Napačno

Poskusi ponovno.

Rešitev

Na 244 različnih načinov.

Kombinacije

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Kombinacije

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Dogovor

Rešitev

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Dogovor

Pravilno

Napačno

Rešitev

Dogovor

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

1. naloga

Pravilno

Napačno

2. naloga

Pravilno

Napačno

3. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

4. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

5. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

6. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

7. naloga

Pravilno

Napačno

Napačno

Napačno

8. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

9. naloga

Pravilno

Napačno

Rešitev

10. naloga